Usando Laplace, resolva os PVIs:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=4, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=-4.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 2y' = 4,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=-4
usando transformada de Laplace. O que faremos: (1) tomar Laplace em cada termo da EDO, (2) usar as condições iniciais para obter uma equação algébrica em Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, (3) resolver para Y(s), (4) decompor em frações parciais e (5) inverter a transformada.

Passo 2

Seja Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Aplicando a transformada de Laplace:
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-s\cdot1-(-4)=s^2Y(s)-s+4,
\mathcal{L}\{2y'\}=2\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)=2\bigl(sY(s)-1\bigr)=2sY(s)-2,
\mathcal{L}\{4\}=\frac{4}{s}.
Somando os dois primeiros e igualando ao terceiro:
\bigl(s^2Y(s)-s+4\bigr)+\bigl(2sY(s)-2\bigr)=\frac{4}{s}.

Passo 3

Reúna os termos em Y(s):
(s^2+2s)\,Y(s)+(-s+4-2)=\frac{4}{s} \quad\Longrightarrow\quad (s^2+2s)\,Y(s)=\frac{4}{s}+s-2.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Y(s)=\frac{\frac{4}{s}+s-2}{s(s+2)} =\frac{s^2-2s+4}{s^2\,(s+2)}.

Passo 4

Fazemos frações parciais:
\frac{s^2-2s+4}{s^2(s+2)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por s^2(s+2):
s^2-2s+4=A\,s(s+2)+B(s+2)+C\,s^2 =(A+C)s^2+(2A+B)s+2B.
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A+C=1,\\\\ 2A+B=-2,\\\\ 2B=4, \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad B=2,\;2A+2=-2\Rightarrow A=-2,\;C=1-(-2)=3.
Logo
Y(s)=-\frac{2}{s}+\frac{2}{s^2}+\frac{3}{s+2}.

Passo 5

Invertemos a transformada em cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\tfrac{2}{s}\Bigr\}=-2,\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{2}{s^2}\Bigr\}=2t,\quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{3}{s+2}\Bigr\}=3e^{-2t}.
Somando,
y(t)=-2+2t+3e^{-2t}.

Resposta

y(t)=-2+2t+3e^{-2t}.

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