Encontre a transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
\frac{3}{(s-1)\left(s^{2}+4\right)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{3}{(s-1)\bigl(s^{2}+4\bigr)}.
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais e uso das transformadas inversas básicas:
  • \mathcal{L}^{-1}\bigl\{1/(s-a)\bigr\}=e^{at},
  • \mathcal{L}^{-1}\bigl\{s/(s^{2}+\omega^{2})\bigr\}=\cos(\omega t),
  • \mathcal{L}^{-1}\bigl\{1/(s^{2}+\omega^{2})\bigr\}=(1/\omega)\sin(\omega t).

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{3}{(s-1)(s^{2}+4)} =\frac{A}{s-1}+\frac{Bs+C}{s^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s^{2}+4) obtém-se a identidade
3 = A\,(s^{2}+4)+(Bs+C)\,(s-1).

Passo 3

Expandindo o lado direito e coletando em potências de s\): \[3 = A s^{2}+4A + B s^{2}-B s + C s - C = (A+B)\,s^{2} + (-B+C)\,s + (4A - C).
Igualando coeficientes a cada grau de s:
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ -\,B + C = 0,\\\\ 4A - C = 3. \end{cases}
Da primeira B=-A\]. Da segunda \(C=B=-A. Substituindo na terceira:
4A - (-A)=3 \;\Longrightarrow\; 5A=3 \;\Longrightarrow\; A=\tfrac{3}{5},
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B=-\tfrac{3}{5}, \quad C=-\tfrac{3}{5}.

Passo 4

Substituindo A, B e C na decomposição:
F(s) =\frac{\tfrac{3}{5}}{s-1} +\frac{-\tfrac{3}{5}\,s-\tfrac{3}{5}}{s^{2}+4} =\frac{3}{5}\,\frac{1}{s-1} -\frac{3}{5}\,\frac{s}{s^{2}+4} -\frac{3}{5}\,\frac{1}{s^{2}+4}.

Passo 5

Agora aplicamos \mathcal{L}^{-1} termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{3}{5}\,\tfrac{1}{s-1}\Bigr\} =\tfrac{3}{5}e^{t},
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{s}{s^{2}+4}\Bigr\} =\cos(2t),
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s^{2}+4}\Bigr\} =\tfrac{1}{2}\sin(2t).
Assim
f(t) =\tfrac{3}{5}e^{t} -\tfrac{3}{5}\cos(2t) -\tfrac{3}{5}\,\Bigl(\tfrac{1}{2}\sin(2t)\Bigr) =\tfrac{3}{5}e^{t} -\tfrac{3}{5}\cos(2t) -\tfrac{3}{10}\sin(2t).

Resposta

f(t) =\frac{3}{5}e^{t} -\frac{3}{5}\cos(2t) -\frac{3}{10}\sin(2t).

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