Considere o subespaço
do
. Em relação ao produto interno
(a)
Determine uma base ortonormal para
.
(b)
Encontre uma base para
.
(b)
Passo 1
O enunciado define o subespaço
no espaço
, com o produto interno
(a) Pede-se uma base ortonormal de
relativa a esse produto interno; para isso vamos usar o processo de Gram–Schmidt.
(b) Pede-se uma base de , isto é, os vetores ortogonais a todo
segundo
.
(b) Pede-se uma base de
Passo 2
Primeiro encontramos uma base qualquer de
. Da equação
temos
. Podemos escolher parâmetros
e
:
escolhendo obtemos
escolhendo
e escolhendo
obtemos
Então
é base de
.
Passo 3
Aplicamos Gram–Schmidt com o produto interno dado.
- Tomamos
e seu quadrado da norma é
Logo
- Projetamos
sobre :
Então
Para simplificar, note que
é paralelo a
.
Calculamos
Calculamos
Logo a norma de
é
, e
Verifica-se que
e
.
Passo 4
Para achar
basta notar que
é o hiperplano definido por
via o produto interno usual, mas queremos vetores
tais que
Equivalente a
pois então
. Assim
Podemos multiplicar por qualquer escalar; por exemplo, tomando o múltiplo 10, uma base de
é gerada por
Resposta
(a) Uma base ortonormal de
é
(b) Uma base de
é, por exemplo,