Considere o subespaço W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+3 y-5 z=0\right\} do \mathbb{R}^{3}. Em relação ao produto interno
\left\langle(x, y, z),\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)\right\rangle=x \cdot x_{1}+5 y \cdot y_{1}+2 z \cdot z_{1}
(a) (0,5) Determine uma base ortonormal para W.
(b) (1,0) Encontre uma base para W^{\perp}.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+3y-5z=0\}
no espaço \mathbb{R}^3, com o produto interno
\langle (x,y,z),(x_1,y_1,z_1)\rangle \;=\; x\,x_1 \;+\;5\,y\,y_1\;+\;2\,z\,z_1.
(a) Pede-se uma base ortonormal de W relativa a esse produto interno; para isso vamos usar o processo de Gram–Schmidt.
(b) Pede-se uma base de W^{\perp}, isto é, os vetores ortogonais a todo w\in W segundo \langle\cdot,\cdot\rangle.

Passo 2

Primeiro encontramos uma base qualquer de W. Da equação x+3y-5z=0 temos x=-3y+5z. Podemos escolher parâmetros y e z:
escolhendo y=1,z=0 obtemos
v_1 =(-3,\,1,\,0),
e escolhendo y=0,z=1 obtemos
v_2 =(5,\,0,\,1).
Então \{v_1,v_2\} é base de W.

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt com o produto interno dado.
  1. Tomamos u_1=v_1 e seu quadrado da norma é
\langle u_1,u_1\rangle =(-3)^2 +5\cdot1^2 +2\cdot0^2 =9+5=14.
Logo
e_1 = \frac{u_1}{\sqrt{14}} = \Bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{14}},\,\tfrac{1}{\sqrt{14}},\,0\Bigr).
  1. Projetamos v_2 sobre e_1:
\langle v_2,e_1\rangle =5\cdot\Bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{14}}\Bigr) +5\cdot0\cdot\tfrac{1}{\sqrt{14}} +2\cdot1\cdot0 =-\frac{15}{\sqrt{14}}.
Então
u_2 = v_2 \;-\;\langle v_2,e_1\rangle\,e_1 = (5,0,1) \;+\;\frac{15}{\sqrt{14}}\;e_1 = \Bigl(\tfrac{25}{14},\,\tfrac{15}{14},\,1\Bigr).
Para simplificar, note que w_2=14\,u_2=(25,15,14) é paralelo a u_2.
Calculamos
\langle w_2,w_2\rangle =25^2 +5\cdot15^2 +2\cdot14^2 =625+1125+392=2142.
Logo a norma de w_2 é \sqrt{2142}=3\sqrt{238}, e
e_2=\frac{w_2}{3\sqrt{238}} =\Bigl(\tfrac{25}{3\sqrt{238}},\,\tfrac{15}{3\sqrt{238}},\,\tfrac{14}{3\sqrt{238}}\Bigr).
Verifica-se que \langle e_1,e_2\rangle=0 e \|e_2\|=1.

Passo 4

Para achar W^{\perp} basta notar que W é o hiperplano definido por n=(1,3,-5) via o produto interno usual, mas queremos vetores v tais que
\langle v,w\rangle =0\quad\forall\,w\in W.
Equivalente a
v = g^{-1}n,\quad g=\mathrm{diag}(1,5,2),
pois então \langle v,w\rangle =n\cdot w=0. Assim
v = \bigl(1,\tfrac{3}{5},-\tfrac{5}{2}\bigr).
Podemos multiplicar por qualquer escalar; por exemplo, tomando o múltiplo 10, uma base de W^{\perp} é gerada por
(10,6,-25).

Resposta

(a) Uma base ortonormal de W é
e_1 = \Bigl(-\tfrac{3}{\sqrt{14}},\,\tfrac{1}{\sqrt{14}},\,0\Bigr), \qquad e_2 = \Bigl(\tfrac{25}{3\sqrt{238}},\,\tfrac{15}{3\sqrt{238}},\,\tfrac{14}{3\sqrt{238}}\Bigr).
(b) Uma base de W^{\perp} é, por exemplo,
\{(10,\,6,\,-25)\}.

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