Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação linear definida por T(x, y, z)=(x+3 y-z, 2 z). Qual dos seguintes conjuntos fornece uma base para o núcleo de T ? Escolha uma opção:
a. \{(1,-1,0),(1,1,4)\}
  • b. \{(-3,1,0)\}
    c. \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}
    \bigcirc d. \{(2,0,-1)\}
    \bigcirc e. \{(6,-2,0),(3,-1,0)\}

Passo 1

O enunciado define T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 por
T(x,y,z) = (\,x + 3y - z,\;2z\,)
e pede uma base do núcleo de T. Isso significa achar todos os vetores (x,y,z) tais que T(x,y,z)=(0,0).

Passo 2

Para (x,y,z) estar no núcleo, a gente impõe
T(x,y,z) = (0,0),
o que gera o sistema
x + 3y - z = 0,
2z = 0.

Passo 3

Da segunda equação
2z = 0
segue imediatamente que
z = 0.

Passo 4

Substituindo z=0 na primeira equação
x + 3y = 0
vemos que
x = -3y.
Então o vetor genérico do núcleo é
(x,y,z) = (-3y,\,y,\,0) = y\,(-3,1,0).

Passo 5

Logo
\ker T = \mathrm{span}\{(-3,1,0)\}
e uma base natural é \{(-3,1,0)\}. Comparando com as opções dadas, isso corresponde à opção (b).

Resposta

(b)

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