Considere as seguintes transformações lineares: T_{1}: \mathbb{R}^{5} \longrightarrow \mathbb{R}^{7} e T_{2}: D_{4} \longrightarrow D_{3}, onde D_{n} é o conjunto das matrizes diagonais de ordem n. Se a nulidade de T_{1} é 4 e o posto de T_{2} é 3 então a soma do posto de T_{1} com a nulidade de T_{2} é:
Escolha uma opção:
(-) a. 2
(1) b. 5
Oc. 3
\bigcirc d. 7
Oe. 6

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares e pede o valor de
\text{posto}(T_{1}) + \text{nulidade}(T_{2}).
Para T_{1}: \mathbb{R}^{5}\to\mathbb{R}^{7} sabemos \text{nulidade}(T_{1})=4.
Para T_{2}:D_{4}\to D_{3} sabemos \text{posto}(T_{2})=3.

Passo 2

Pela dimensão do domínio de T_{1} e o Teorema do Núcleo e Imagem, vale
\text{posto}(T_{1}) + \text{nulidade}(T_{1}) = \dim(\mathbb{R}^{5}) = 5.
Como \text{nulidade}(T_{1})=4, obtemos
\text{posto}(T_{1}) = 5 - 4 = 1.

Passo 3

O espaço D_{4} das matrizes diagonais 4\times4 tem dimensão 4. Novamente pelo Teorema do Núcleo e Imagem para T_{2},
\text{posto}(T_{2}) + \text{nulidade}(T_{2}) = \dim(D_{4}) = 4.
Como \text{posto}(T_{2})=3, segue
\text{nulidade}(T_{2}) = 4 - 3 = 1.

Passo 4

Somando
\text{posto}(T_{1}) + \text{nulidade}(T_{2}) = 1 + 1 = 2.

Resposta

a. 2

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