Considere \mathrm{X}+4 \mathrm{Y}=\left(\begin{array}{cc}1 & 6 \\\\ -2 & 7\end{array}\right) e 3 \mathrm{X}+2 \mathrm{Y}=\left(\begin{array}{ll}3 & 8 \\\\ 4 & 1\end{array}\right), determine X e verifique se X é ortogonal

Passo 1

O enunciado dá duas equações matriciais lineares em \mathrm{X} e \mathrm{Y}:
\mathrm{X} + 4\mathrm{Y} = \begin{pmatrix}1 & 6 \\[6pt] -2 & 7\end{pmatrix}, \quad 3\mathrm{X} + 2\mathrm{Y} = \begin{pmatrix}3 & 8 \\[6pt] 4 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo é álgebra matricial: resolver uma combinação linear de matrizes para encontrar \mathrm{X} e depois verificar se \mathrm{X} é ortogonal (isto é, \mathrm{X}^\mathsf{T}\mathrm{X} = I).]

Passo 2

Para eliminar \mathrm{X} e achar \mathrm{Y}, multiplico a primeira equação por 3 e subtraio a segunda:
3(\mathrm{X} + 4\mathrm{Y}) - (3\mathrm{X} + 2\mathrm{Y}) = 3\begin{pmatrix}1 & 6 \\[3pt] -2 & 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 & 8 \\[3pt] 4 & 1\end{pmatrix}.
O lado esquerdo vira
3\mathrm{X} + 12\mathrm{Y} - 3\mathrm{X} - 2\mathrm{Y} = 10\,\mathrm{Y},
e o lado direito é
3\begin{pmatrix}1 & 6 \\[3pt] -2 & 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 & 8 \\[3pt] 4 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3-3 & 18-8 \\[3pt] -6-4 & 21-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 10 \\[3pt] -10 & 20\end{pmatrix}.
Logo
\mathrm{Y} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix}0 & 10 \\[3pt] -10 & 20\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt] -1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora uso \mathrm{X} = \begin{pmatrix}1 & 6\\[3pt]-2 & 7\end{pmatrix} - 4\,\mathrm{Y}:
4\,\mathrm{Y} = 4\begin{pmatrix}0 & 1 \\[3pt] -1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 4 \\[3pt] -4 & 8\end{pmatrix},
portanto
\mathrm{X} = \begin{pmatrix}1 & 6 \\[3pt] -2 & 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 & 4 \\[3pt] -4 & 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 2 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para verificar se \mathrm{X} é ortogonal, calculo \mathrm{X}^\mathsf{T}\mathrm{X}. Como \mathrm{X} é simétrica, \mathrm{X}^\mathsf{T}=\mathrm{X}, então
\mathrm{X}^\mathsf{T}\mathrm{X} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot2 & 1\cdot2+2\cdot(-1) \\[3pt] 2\cdot1+(-1)\cdot2 & 2\cdot2+(-1)\cdot(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 0 \\[3pt] 0 & 5\end{pmatrix} = 5\,I.
Como 5\,I \neq I, \mathrm{X} não é ortogonal.]

Resposta

\mathrm{X} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 2 & -1\end{pmatrix},
e \mathrm{X} não é ortogonal.]

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