Discutir os sistemas nas variáveis \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}.
\left\{\begin{array}{l}7 x+y-3 z=10 \\\ x+y+z=6 \\\\ 4 x+y+p z=q\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear em (x,y,z):
\begin{cases} 7x + y - 3z = 10,\\\ x + y + z = 6,\\\\ 4x + y + pz = q. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares com parâmetros. Para discutir existência e unicidade de solução, vamos usar o determinante da matriz dos coeficientes e a comparação de postos (teoria de Rouché–Capelli).

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada (A\mid b):
A = \begin{pmatrix} 7 & 1 & -3\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 4 & 1 & p \end{pmatrix}, \quad (A\mid b) = \begin{pmatrix} 7 & 1 & -3 & 10\\\\ 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 4 & 1 & p & q \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A. Usando expansão por cofatores:
\det(A) = 7\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & p\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 4 & p\end{pmatrix} -3\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 4 & 1\end{pmatrix}.
Cada 2\times 2 vale
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & p\end{pmatrix}=p-1, \quad \det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 4 & p\end{pmatrix}=p-4, \quad \det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 4 & 1\end{pmatrix}=1-4=-3.
Logo,
\det(A)=7(p-1)-(p-4)-3(-3) =7p-7-p+4+9 =6p+6 =6(p+1).

Passo 4

Se \det(A)\neq0, isto é, se p+1\neq0 (ou seja p\neq-1), o posto de A é 3 e coincide com o posto de (A\mid b). Portanto o sistema tem solução única para todo valor de q.

Passo 5

Se \det(A)=0\), isto é \(p=-1\), então o posto de \(A\) pode ser \(2\) e precisamos comparar com o posto da aumentada. Nesse caso a terceira equação fica \[4x + y - z = q.
Verificamos se ela é combinação linear das duas primeiras. Procuramos \alpha,\beta tais que
\alpha(7x+y-3z)+\beta(x+y+z) =4x+y-z.
Isso gera o sistema para \alpha,\beta:
\begin{cases} 7\alpha + \beta =4,\\\ \alpha + \beta =1,\\\\ -3\alpha + \beta = -1. \end{cases}
Da segunda equação vem \beta=1-\alpha\]. Substituindo na primeira, \[7\alpha + (1-\alpha)=4\implies6\alpha=3\implies\alpha=\tfrac12, \quad \beta=\tfrac12,\] que satisfaz também a terceira. Logo a terceira equação é \(\tfrac12 vezes a primeira mais \tfrac12 vezes a segunda.

Passo 6

Para que o mesmo coeficiente sirva no termo independente, precisamos que
q = \tfrac12\cdot 10 + \tfrac12\cdot 6 = 5 + 3 = 8.
Se q=8, então o posto de (A\mid b) continua 2, igual ao de A, e há infintas soluções. Se q\neq8, o posto de (A\mid b) é 3 enquanto o de A é 2, logo o sistema é inconsistente (sem solução).

Resposta

Para o sistema
\begin{cases} 7x + y - 3z = 10,\\\ x + y + z = 6,\\\\ 4x + y + pz = q, \end{cases}
temos:
(a) Se p\neq -1, há solução única para todo q.
(b) Se p = -1 e q = 8, há infinitas soluções.
(c) Se p = -1 e q \neq 8, o sistema não tem solução.

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