Discutir os sistemas nas variáveis \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}. \left\{\begin{array}{l}7 x+y-3 z=10 \\\ x+y+z=6 \\\\ 4 x+y+p z=q\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear em (x,y,z):
\begin{cases} 7x + y - 3z = 10,\\\ x + y + z = 6,\\\\ 4x + y + pz = q. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares com parâmetros. Para discutir existência e unicidade de solução, vamos usar o determinante da matriz dos coeficientes e a comparação de postos (teoria de Rouché–Capelli).
Passo 2
Escrevemos a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada (A\mid b):
Se \det(A)\neq0, isto é, se p+1\neq0 (ou seja p\neq-1), o posto de A é 3 e coincide com o posto de (A\mid b). Portanto o sistema tem solução única para todo valor de q.
Passo 5
Se \det(A)=0\), isto é \(p=-1\), então o posto de \(A\) pode ser \(2\) e precisamos comparar com o posto da aumentada. Nesse caso a terceira equação fica
\[4x + y - z = q.
Verificamos se ela é combinação linear das duas primeiras. Procuramos \alpha,\beta tais que
Da segunda equação vem \beta=1-\alpha\]. Substituindo na primeira,
\[7\alpha + (1-\alpha)=4\implies6\alpha=3\implies\alpha=\tfrac12, \quad \beta=\tfrac12,\]
que satisfaz também a terceira. Logo a terceira equação é \(\tfrac12 vezes a primeira mais \tfrac12 vezes a segunda.
Passo 6
Para que o mesmo coeficiente sirva no termo independente, precisamos que
Se q=8, então o posto de (A\mid b) continua 2, igual ao de A, e há infintas soluções. Se q\neq8, o posto de (A\mid b) é 3 enquanto o de A é 2, logo o sistema é inconsistente (sem solução).
Resposta
Para o sistema
\begin{cases} 7x + y - 3z = 10,\\\ x + y + z = 6,\\\\ 4x + y + pz = q, \end{cases}
temos:
(a) Se p\neq -1, há solução única para todo q.
(b) Se p = -1 e q = 8, há infinitas soluções.
(c) Se p = -1 e q \neq 8, o sistema não tem solução.