Discutir os sistemas nas variáveis \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}. \left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\\ x-y+m z=2 \\\ m x+2 y+z=-1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para discutir o sistema linear em (x,y,z)\)
\[\begin{cases} x+y+z=0,\\\ x-y+m\,z=2,\\\ m\,x+2y+z=-1, \end{cases}
dependendo do parâmetro (m]. O conteúdo aqui é resolver sistemas lineares paramétricos usando determinante da matriz dos coeficientes e análise de consistência.
Passo 2
Formamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & m\\\ m & 2 & 1 \end{pmatrix}
Se m\neq0 e m\neq1, então \det A\neq0 e o sistema é compatível determinado, ou seja, tem única solução em função de m.
Passo 4
Se m=0\), o sistema fica
\[\begin{cases} x+y+z=0,\\\ x-y=2,\\\\ 2y+z=-1. \end{cases}
Da segunda equação x=y+2\]. Substituindo em \(x+y+z=0 dá z=-2y-2. Colocando em 2y+z=-1 resulta
2y+(-2y-2)=-1\quad\Longrightarrow\quad -2=-1,
contradição. Logo, para m=0 o sistema é incompatível (nenhuma solução).
Passo 5
Se m=1\), o sistema passa a ser
\[\begin{cases} x+y+z=0,\\\ x-y+z=2,\\\ x+2y+z=-1. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda: -2y=2\] dá \(y=-1. Usando x+y+z=0 obtemos x+z=1. A terceira equação não traz informação nova. Logo há infinitas soluções, por exemplo
temos:
(a) se m\neq0 e m\neq1, único solução (sistema compatível determinado);
(b) se m=0, sem solução (sistema incompatível);
(c) se m=1, infinitas soluções (sistema compatível indeterminado).