Discutir os sistemas nas variáveis \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}.
\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\\ x-y+m z=2 \\\ m x+2 y+z=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para discutir o sistema linear em (x,y,z)\) \[\begin{cases} x+y+z=0,\\\ x-y+m\,z=2,\\\ m\,x+2y+z=-1, \end{cases}
dependendo do parâmetro (m]. O conteúdo aqui é resolver sistemas lineares paramétricos usando determinante da matriz dos coeficientes e análise de consistência.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & m\\\ m & 2 & 1 \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante:
\det A =1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & m\\\ 2 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & m\m & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\m & 2\end{pmatrix}.
Fazendo as contas:
\det A =(\\ -1\cdot1 - m\cdot2)\;-\;(1\cdot1 - m^2)\;+\;(1\cdot2 -(-1)\,m) =(-1-2m)-(1-m^2)+(2+m) =m^2-m =m(m-1).

Passo 3

Se m\neq0 e m\neq1, então \det A\neq0 e o sistema é compatível determinado, ou seja, tem única solução em função de m.

Passo 4

Se m=0\), o sistema fica \[\begin{cases} x+y+z=0,\\\ x-y=2,\\\\ 2y+z=-1. \end{cases}
Da segunda equação x=y+2\]. Substituindo em \(x+y+z=0 z=-2y-2. Colocando em 2y+z=-1 resulta
2y+(-2y-2)=-1\quad\Longrightarrow\quad -2=-1,
contradição. Logo, para m=0 o sistema é incompatível (nenhuma solução).

Passo 5

Se m=1\), o sistema passa a ser \[\begin{cases} x+y+z=0,\\\ x-y+z=2,\\\ x+2y+z=-1. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda: -2y=2\] dá \(y=-1. Usando x+y+z=0 obtemos x+z=1. A terceira equação não traz informação nova. Logo há infinitas soluções, por exemplo
y=-1,\quad z=t,\quad x=1-t,\quad t\in\mathbb{R},
e o sistema é compatível indeterminado.

Resposta

Para o sistema
\begin{cases} x+y+z=0,\\\ x-y+m\,z=2,\\\ m\,x+2y+z=-1 \end{cases}
temos:
(a) se m\neq0 e m\neq1, único solução (sistema compatível determinado);
(b) se m=0, sem solução (sistema incompatível);
(c) se m=1, infinitas soluções (sistema compatível indeterminado).

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