Resolva os sistemas de equações:
\left\{\begin{array}{l}x+8 y+2 z=0 \\\\ 2 x+y-z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x + 8y + 2z = 0,\\\\ 2x + y - z = 0 \end{cases}
Temos três incógnitas x,y,z e apenas duas equações, então o sistema é subdefinido e tem infinitas soluções. Vamos escolher uma variável livre como parâmetro e resolver por substituição.

Passo 2

Da primeira equação isolamos x:
x = -8y - 2z.

Passo 3

Substituímos essa expressão de x na segunda equação:
2(-8y - 2z) + y - z = 0
-16y - 4z + y - z = 0
-15y - 5z = 0
y = -\frac{z}{3}.

Passo 4

Agora voltamos à expressão de x:
x = -8\Bigl(-\frac{z}{3}\Bigr) - 2z = \frac{8z}{3} - \frac{6z}{3} = \frac{2z}{3}.

Passo 5

Escolhemos z como parâmetro: seja z = t, com t\in\mathbb{R}. Então
x = \frac{2t}{3},\quad y = -\frac{t}{3},\quad z = t.
Para ficar com coeficientes inteiros, podemos definir t=3s, obtendo
x = 2s,\quad y = -s,\quad z = 3s,\quad s\in\mathbb{R}.

Resposta

O conjunto solução é
\{(x,y,z) = s\,(2,\,-1,\,3)\mid s\in\mathbb{R}\}.

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