Considere \mathrm{o} \mathbb{R}-espaço vetorial M_{2}(\mathbb{R}) com o produto interno canônico. Seja
W=\left\{\left.\left[\begin{array}{cc} x & y \\\ z & w \end{array}\right] \in M_{2}(\mathbb{R}) \right\rvert\, x+y-z=0\right\} .
(a) Encontre uma base para W.
(b) Encontre uma base para W^{\perp}.

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial M_{2}(\mathbb{R}) com o produto interno canônico
\langle A,B\rangle = \mathrm{tr}(A^{T}B)
e define o subespaço
W=\Bigl\{\begin{pmatrix}x&y\z&w\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R})\mid x+y-z=0\Bigr\}.
Queremos encontrar (a) uma base de W e (b) uma base de W^{\perp}=\{B\in M_{2}(\mathbb{R})\mid \langle A,B\rangle=0\\ \forall A\in W\}.

Passo 2

Para caracterizar W usamos a equação x+y-z=0, ou seja,
z = x+y.
Logo, uma matriz genérica de W pode ser escrita como
A=\begin{pmatrix}x&y\x+y&w\end{pmatrix},
onde x, y e w são parâmetros livres. Assim \dim W=3.

Passo 3

Separando os parâmetros, temos
A = x\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} + w\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Portanto uma base de W é
\Bigl\{ E_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\\ E_{2}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\\ E_{3}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix} \Bigr\}.

Passo 4

Para achar W^{\perp} tomamos uma matriz genérica
B=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}
e impomos \langle A,B\rangle=0 para todo A\in W. Calculamos
\langle A,B\rangle = a\,x + b\,y + c\,(x+y) + d\,w = (a+c)x + (b+c)y + d\,w.
Como isso deve valer zero para quaisquer x,y,w, os coeficientes devem satisfazer
a+c=0,\quad b+c=0,\quad d=0.

Passo 5

Das condições vem c=-a, b=-c=a e d=0. Logo
B = a\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&0\end{pmatrix}.
Isto mostra que \dim W^{\perp}=1 e um gerador é \begin{pmatrix}1&1\\\ -1&0\end{pmatrix}.

Resposta

(a) Uma base de W é
\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
(b) Uma base de W^{\perp} é
\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&0\end{pmatrix}.

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