Considere
-espaço vetorial
com o produto interno canônico. Seja
(a) Encontre uma base para
.
(b) Encontre uma base para
.
(b) Encontre uma base para
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço vetorial
com o produto interno canônico
e define o subespaço
Queremos encontrar (a) uma base de
e (b) uma base de
.
Passo 2
Para caracterizar
usamos a equação
, ou seja,
Logo, uma matriz genérica de
pode ser escrita como
onde
,
e
são parâmetros livres. Assim
.
Passo 3
Separando os parâmetros, temos
Portanto uma base de
é
Passo 4
Para achar
tomamos uma matriz genérica
e impomos
para todo
. Calculamos
Como isso deve valer zero para quaisquer
, os coeficientes devem satisfazer
Passo 5
Das condições vem
,
e
. Logo
Isto mostra que
e um gerador é
.
Resposta
(a) Uma base de
é
(b) Uma base de
é