Considere
-espaço vetorial
com o produto interno canônico. Seja
(a) Encontre uma base para
.
(b) Encontre uma base para
.
(b) Encontre uma base para
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
com o produto interno canônico e o subespaço
Pede-se (a) uma base de
e (b) uma base de seu complemento ortogonal
. Para isso, vamos parametrizar as soluções da equação linear e, em seguida, usar o vetor normal para achar
.
Passo 2
Resolvendo
em função de variáveis livres
, obtemos
Logo, um vetor genérico de
é
Portanto,
é uma base de
.
Passo 3
O complemento ortogonal
é o conjunto de vetores ortogonais a todo vetor de
. A equação
mostra que
é um vetor normal ao hiperplano
, pois
Logo, qualquer múltiplo de
é ortogonal a
, e assim
é uma base de
.
Resposta
(a) Uma base de
é
.\n(b) Uma base de
é
.