Considere \mathrm{o} \mathbb{R}-espaço vetorial \mathbb{R}^{4} com o produto interno canônico. Seja
W=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-2 y+z+w=0\right\}
(a) Encontre uma base para W.
(b) Encontre uma base para W^{\perp}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial \mathbb{R}^4 com o produto interno canônico e o subespaço
W = \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x - 2y + z + w = 0\}.
Pede-se (a) uma base de W e (b) uma base de seu complemento ortogonal W^\perp. Para isso, vamos parametrizar as soluções da equação linear e, em seguida, usar o vetor normal para achar W^\perp.

Passo 2

Resolvendo
x - 2y + z + w = 0
em função de variáveis livres y,z,w, obtemos
x = 2y - z - w.
Logo, um vetor genérico de W é
(x,y,z,w) = (2y - z - w,\,y,\,z,\,w) = y\,(2,1,0,0) + z\,(-1,0,1,0) + w\,(-1,0,0,1).
Portanto, \{(2,1,0,0),\,(-1,0,1,0),\,(-1,0,0,1)\} é uma base de W.

Passo 3

O complemento ortogonal W^\perp é o conjunto de vetores ortogonais a todo vetor de W. A equação x-2y+z+w=0 mostra que
n = (1,-2,1,1)
é um vetor normal ao hiperplano W, pois
n\cdot(x,y,z,w) = x - 2y + z + w.
Logo, qualquer múltiplo de n é ortogonal a W, e assim \{(1,-2,1,1)\} é uma base de W^\perp.

Resposta

(a) Uma base de W é \{(2,1,0,0),\,(-1,0,1,0),\,(-1,0,0,1)\}.\n(b) Uma base de W^\perp é \{(1,-2,1,1)\}.

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