Questão 7 Identificar a superfície dada em coordenadas cilíndricas ou esféricas
\rho=2 \sin (\theta)

Passo 1

O enunciado dá a superfície em coordenadas cilíndricas pela equação
\rho = 2 \sin(\theta).
Aqui o conteúdo é a conversão de coordenadas cilíndricas (\rho,\theta,z) para cartesianas (x,y,z), usando
x = \rho\cos(\theta),\quad y = \rho\sin(\theta),\quad z = z.

Passo 2

Expressamos \rho e \sin(\theta) em função de x e y. Sabemos que
\rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \sin(\theta) = \frac{y}{\rho}.
Substituindo na equação \rho = 2\sin(\theta) obtemos
\sqrt{x^2+y^2} = 2\,\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por \sqrt{x^2+y^2} para eliminar a raiz:
x^2 + y^2 = 2y.

Passo 4

Reescrevemos x^2 + y^2 = 2y completando o quadrado em y:
x^2 + y^2 - 2y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + \bigl(y-1\bigr)^2 = 1.
Como não há z na equação, isso descreve um cilindro circular de raio 1 paralelo ao eixo z.

Resposta

A superfície é o cilindro
x^2 + (y-1)^2 = 1,
ou seja, um cilindro circular de raio 1 com eixo paralelo ao eixo z e centro da seção em (0,1).

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