Questão 7 Identificar a superfície dada em coordenadas cilíndricas ou esféricas
\rho \cos (2 \theta)=-4 z

Passo 1

O enunciado dá a superfície em coordenadas cilíndricas (\rho,\theta,z) pela equação
\rho\cos(2\theta) \;=\;-4\,z.
Queremos identificar que tipo de superfície é isso (plano, cone, cilindro, etc.). Para isso vamos primeiro passar para coordenadas cartesianas, depois para esféricas, e ver a dependência ou não de \rho.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas valem as relações
\rho = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \cos(2\theta) = \frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{1} = \frac{x^2 - y^2}{\rho^2}.
Substituindo em \rho\cos(2\theta) = -4z obtemos
\rho\;\frac{x^2 - y^2}{\rho^2} \;=\;-4\,z \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2 - y^2}{\rho} = -4\,z.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por \rho=\sqrt{x^2+y^2} vem
x^2 - y^2 = -4\,z\,\sqrt{x^2+y^2}.
Note que todos os termos têm grau homogêneo 3 em (x,y,z). Toda equação homogênea de grau n que passa pela origem define uma superfície cônica (invariante por escala a partir da origem).

Passo 4

Para reforçar a natureza cônica, passemos às coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi) com
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi.
Na equação original \rho\cos(2\theta)=-4z substituímos z=\rho\cos\varphi e dividimos por \rho\neq0:
\cos(2\theta) = -4\cos\varphi.
Isso não envolve mais \rho: o valor de \rho é livre, logo a superfície é gerada por retas que saem da origem num padrão definido só por \theta e \varphi. É, portanto, uma superfície cônica.

Passo 5

Concluímos que a equação dada em coordenadas cilíndricas representa um cone (mais precisamente um “cono” de grau 3, pois em Cartesianas é homogênea de grau 3), com vértice na origem, cujas geratrizes satisfazem
\cos(2\theta) + 4\cos\varphi = 0.

Resposta

A superfície é um cone com vértice na origem, cuja equação em coordenadas esféricas fica
\cos(2\theta) + 4\cos\varphi = 0.

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