Questão 7 Identificar a superfície dada em coordenadas cilíndricas ou esféricas
Passo 1
O enunciado dá a superfície em coordenadas cilíndricas
pela equação
Queremos identificar que tipo de superfície é isso (plano, cone, cilindro, etc.). Para isso vamos primeiro passar para coordenadas cartesianas, depois para esféricas, e ver a dependência ou não de
.
Passo 2
Em coordenadas cartesianas valem as relações
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
vem
Note que todos os termos têm grau homogêneo
em
. Toda equação homogênea de grau
que passa pela origem define uma superfície cônica (invariante por escala a partir da origem).
Passo 4
Para reforçar a natureza cônica, passemos às coordenadas esféricas
com
Na equação original
substituímos
e dividimos por
:
Isso não envolve mais
: o valor de
é livre, logo a superfície é gerada por retas que saem da origem num padrão definido só por
e
. É, portanto, uma superfície cônica.
Passo 5
Concluímos que a equação dada em coordenadas cilíndricas representa um cone (mais precisamente um “cono” de grau 3, pois em Cartesianas é homogênea de grau 3), com vértice na origem, cujas geratrizes satisfazem
Resposta
A superfície é um cone com vértice na origem, cuja equação em coordenadas esféricas fica