Considere \mathrm{T}: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R}^{3} com \mathrm{T}(1,1,0)=(2,0,1), \mathrm{T}(0,1,1)=(1,2,-1), \mathrm{T}(1,0,1)=(3,1,0). Determine \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) e o vetor v tal que \mathrm{T}(\mathrm{v})=(5,3,2).
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cujos valores são conhecidos em três vetores:
Queremos (1) achar uma fórmula para \mathrm{T}(x,y,z) em coordenadas canônicas e (2) encontrar v tal que \mathrm{T}(v)=(5,3,2). Vamos usar que \{a,b,c\} forma uma base de \mathbb{R}^3 e, a partir daí, escrever um vetor genérico como combinação linear desses três.
Passo 2
Primeiro confirmamos que a,b,c são linearmente independentes, calculando o determinante da matriz cujas colunas são a,b,c:
Queremos v=(x,y,z)\) tal que \(\mathrm{T}(x,y,z)=(5,3,2)\). Isso gera o sistema
\[\begin{cases} 2x+z = 5,\\\ \displaystyle\frac{-x+y+3z}{2}=3,\\\ x-z = 2. \end{cases}
Da terceira equação x=z+2\]. Substituindo em \(2x+z=5 dá 3z+4=5, logo z=\tfrac13 e x=\tfrac73. Na segunda, -x+y+3z=6 leva a y=\tfrac{22}{3}. Assim