Considere \mathrm{T}: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R}^{3} com \mathrm{T}(1,1,0)=(2,0,1), \mathrm{T}(0,1,1)=(1,2,-1), \mathrm{T}(1,0,1)=(3,1,0). Determine \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) e o vetor v tal que \mathrm{T}(\mathrm{v})=(5,3,2).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cujos valores são conhecidos em três vetores:
a=(1,1,0),\quad b=(0,1,1),\quad c=(1,0,1),
com
\mathrm{T}(a)=(2,0,1),\quad \mathrm{T}(b)=(1,2,-1),\quad \mathrm{T}\text{(c)}=(3,1,0).
Queremos (1) achar uma fórmula para \mathrm{T}(x,y,z) em coordenadas canônicas e (2) encontrar v tal que \mathrm{T}(v)=(5,3,2). Vamos usar que \{a,b,c\} forma uma base de \mathbb{R}^3 e, a partir daí, escrever um vetor genérico como combinação linear desses três.

Passo 2

Primeiro confirmamos que a,b,c são linearmente independentes, calculando o determinante da matriz cujas colunas são a,b,c:
\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix} -0+\;1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} =1\cdot1+1\cdot1=2\neq0.
Logo \{a,b,c\} é base de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Para um vetor genérico (x,y,z) buscamos escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
(x,y,z) =\alpha(1,1,0)+\beta(0,1,1)+\gamma(1,0,1) =(\alpha+\gamma,\;\alpha+\beta,\;\beta+\gamma).
Isso gera o sistema
\begin{cases} \alpha+\gamma = x,\\\ \alpha+\beta = y,\\\ \beta+\gamma = z. \end{cases}
Resolvendo,
\gamma = \frac{x+z-y}{2},\quad \alpha = \frac{x+y-z}{2},\quad \beta = \frac{-x+y+z}{2}.

Passo 4

Como \mathrm{T} é linear,
\mathrm{T}(x,y,z) =\alpha\,\mathrm{T}(a)+\beta\,\mathrm{T}(b)+\gamma\,\mathrm{T}\text{(c)}.
Substituindo \mathrm{T}(a)=(2,0,1), \mathrm{T}(b)=(1,2,-1) e \mathrm{T}\text{(c)}=(3,1,0), obtemos
\mathrm{T}(x,y,z) =(2\alpha+\beta+3\gamma,\;2\beta+\gamma,\;\alpha-\beta).

Passo 5

Bastou substituir \alpha,\beta,\gamma:
2\alpha= x+y-z, \beta= \frac{-x+y+z}{2}, 3\gamma= \frac{3(x+z-y)}{2}. Fazendo as contas:
2\alpha+\beta+3\gamma = 2x+z, \quad 2\beta+\gamma = \frac{-x+y+3z}{2}, \quad \alpha-\beta = x-z.
Portanto
\boxed{\mathrm{T}(x,y,z)=\Bigl(2x+z,\;\frac{-x+y+3z}{2},\;x-z\Bigr).}

Passo 6

Queremos v=(x,y,z)\) tal que \(\mathrm{T}(x,y,z)=(5,3,2)\). Isso gera o sistema \[\begin{cases} 2x+z = 5,\\\ \displaystyle\frac{-x+y+3z}{2}=3,\\\ x-z = 2. \end{cases}
Da terceira equação x=z+2\]. Substituindo em \(2x+z=5 3z+4=5, logo z=\tfrac13 e x=\tfrac73. Na segunda, -x+y+3z=6 leva a y=\tfrac{22}{3}. Assim
\boxed{v=\Bigl(\tfrac73,\;\tfrac{22}{3},\;\tfrac13\Bigr)}.

Resposta

\mathrm{T}(x,y,z)=\bigl(2x+z,\;(-x+y+3z)/2,\;x-z\bigr) v=(7/3,\;22/3,\;1/3)

Exercícios relacionados