Determine a transformação linear \mathrm{T}: \mathrm{R}^{2} \rightarrow \mathrm{R}^{3} tal que \mathrm{T}(1,0)=(2,1,3), \mathrm{T}(0,1)=(0,-1,2). Encontre \mathrm{v} \in \mathrm{R}^{2} tal que \mathrm{T}(\mathrm{v})=(4,3,8).

Passo 1

O enunciado pede achar a transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 que satisfaz
\mathrm{T}(1,0)=(2,1,3) e \mathrm{T}(0,1)=(0,-1,2), e em seguida encontrar \mathbf{v}\in\mathbb{R}^2 tal que
\mathrm{T}(\mathbf{v})=(4,3,8). O conteúdo é representação matricial de transformação linear e solução de sistema linear.

Passo 2

Como \mathrm{T} é linear, para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 vale
\mathrm{T}(x,y)=x\,\mathrm{T}(1,0)+y\,\mathrm{T}(0,1)
portanto
\mathrm{T}(x,y)=x(2,1,3)+y(0,-1,2)=(2x,\;x - y,\;3x + 2y).

Passo 3

Buscamos \mathbf{v}=(a,b) tal que
\mathrm{T}(a,b)=(2a,\;a - b,\;3a + 2b)=(4,3,8).
Isto gera o sistema
\begin{cases} 2a = 4,\\\ a - b = 3,\\\\ 3a + 2b = 8. \end{cases}

Passo 4

Da primeira equação vem a=2. Substituindo na segunda, 2 - b = 3 implica b = -1. Verificando na terceira,
3\cdot2 + 2\cdot(-1) = 6 - 2 = 4 \neq 8,
logo o sistema é inconsistente e não há \mathbf{v} satisfazendo \mathrm{T}(\mathbf{v})=(4,3,8).

Resposta

A transformação é
\mathrm{T}(x,y) = (2x,\;x - y,\;3x + 2y)
e não existe \mathbf{v}\in\mathbb{R}^2 tal que
\mathrm{T}(\mathbf{v}) = (4,3,8).

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