Considere \mathrm{T}: \mathrm{R}^{2} \rightarrow \mathrm{R}^{3} tal que \mathrm{T}(2,1)=(1,0,-1), \mathrm{T}(-1,3)=(2,2,4). Determine \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) e encontre \mathrm{v} \in \mathrm{R}^{2} tal que \mathrm{T}(\mathrm{v})=(3,2,5).

Passo 1

O enunciado diz que \,T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3 é linear e satisfaz
T(2,1) = (1,0,-1),\quad T(-1,3) = (2,2,4).
Como (2,1) e (-1,3) formam base de \mathbb R^2, basta escrever (x,y) como combinação linear desses vetores e usar a linearidade para achar T(x,y).

Passo 2

Escrevemos
(x,y) = a\,(2,1) \;+\; b\,(-1,3),
o que gera o sistema
\begin{cases} x = 2a - b,\\\ y = a + 3b. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo esse sistema para a e b, obtemos
b = \frac{2y - x}{7}, \qquad a = \frac{y + 3x}{7}.

Passo 4

Pela linearidade de T,
T(x,y) = a\,T(2,1) \;+\; b\,T(-1,3) = a\,(1,0,-1) \;+\; b\,(2,2,4).
Em cada coordenada isso dá
\text{(1ª)}\;a+2b,\quad \text{(2ª)}\;2b,\quad \text{(3ª)}\;-a+4b.ªªª
Substituindo a e b achamos
T(x,y) = \Bigl(\tfrac{x+5y}{7},\;\tfrac{4y-2x}{7},\;y - x\Bigr).

Passo 5

Para resolver
T(x,y) = (3,2,5)\nequacionamos
\frac{x+5y}{7} = 3,\quad \frac{4y-2x}{7} = 2,\quad y - x = 5.
As duas primeiras dão
x + 5y = 21, \qquad 4y - 2x = 14 \;\Longrightarrow\; x = 2y - 7,
então 7y = 28\implies y=4 e x=1. Mas nesse ponto
y - x = 4 - 1 = 3 \neq 5,
logo há contradição: não existe (x,y) que satisfaça as três equações.

Resposta

T(x,y) = \Bigl(\tfrac{x+5y}{7},\;\tfrac{4y-2x}{7},\;y - x\Bigr),
e não existe v\in\mathbb R^2 tal que T(v)=(3,2,5).

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