Considere \mathrm{T}: \mathrm{R}^{4} \rightarrow \mathrm{R}^{3} tal que \mathrm{T}(1,0,0,0)=(1,0,2), \mathrm{T}(0,1,0,0)=(0,1,1), \mathrm{T}(0,0,1,0)=(2,-1,0), \mathrm{T}(0,0,0,1)=(1,1,1). Determine \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}, \mathrm{w}) e o vetor \mathrm{v} \in \mathrm{R}^{4} tal que \mathrm{T}(\mathrm{v})=(3,2,4).

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear \mathrm{T}\colon \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3}
cuja ação nos vetores da base canônica \mathbf e_{1}=(1,0,0,0), \mathbf e_{2}=(0,1,0,0), \mathbf e_{3}=(0,0,1,0), \mathbf e_{4}=(0,0,0,1)
é conhecida: \mathrm{T}(\mathbf e_{1})=(1,0,2), \mathrm{T}(\mathbf e_{2})=(0,1,1), \mathrm{T}(\mathbf e_{3})=(2,-1,0), \mathrm{T}(\mathbf e_{4})=(1,1,1).
Queremos (1) achar a fórmula de \mathrm{T}(x,y,z,w)
e (2) um vetor \mathbf v\in\mathbb{R}^{4}
tal que \mathrm{T}(\mathbf v)=(3,2,4).

Passo 2

Pela linearidade, para um vetor genérico (x,y,z,w)
temos
\mathrm{T}(x,y,z,w) =x\,\mathrm{T}(1,0,0,0) +y\,\mathrm{T}(0,1,0,0) +z\,\mathrm{T}(0,0,1,0) +w\,\mathrm{T}(0,0,0,1).
Substituindo cada imagem, obtemos
\mathrm{T}(x,y,z,w) =\bigl(x+2z+w,\;y-z+w,\;2x+y+w\bigr).

Passo 3

Para encontrar \mathbf v=(x,y,z,w)\) com \(\mathrm{T}(\mathbf v)=(3,2,4)\), montamos o sistema \[\begin{cases} x+2z+w=3,\\\ y-z+w=2,\\\\ 2x+y+w=4. \end{cases}
Podemos escolher um parâmetro livre, por exemplo w=2\]. Então da primeira equação \[x+2z+2=3
segue x+2z=1.
Da segunda y-z+2=2
vem y=z.
E da terceira 2x+y+2=4
vem 2x+y=2.
Como y=z, as duas equações simultâneas ( \begin{cases}x+2z=1,\\\ 2x+z=2\end{cases}]
têm solução x=1, z=0, y=z=0.
Logo um vetor que funciona é
\mathbf v=(1,0,0,2).

Resposta

A transformação é
\mathrm{T}(x,y,z,w) =\bigl(x+2z+w,\;y-z+w,\;2x+y+w\bigr),
e um vetor satisfazendo \mathrm{T}(\mathbf v)=(3,2,4)
é \mathbf v=(1,0,0,2).

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