Considere
tal que
,
. Determine
e o vetor
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear
cuja ação nos vetores da base canônica ,
,
,
é conhecida: ,
,
,
.
Queremos (1) achar a fórmula de
e (2) um vetor
tal que .
cuja ação nos vetores da base canônica
é conhecida:
Queremos (1) achar a fórmula de
e (2) um vetor
tal que
Passo 2
Pela linearidade, para um vetor genérico
temos
temos
Substituindo cada imagem, obtemos
Passo 3
Para encontrar
Podemos escolher um parâmetro livre, por exemplo
segue .
Da segunda
vem .
E da terceira
vem .
Como , as duas equações simultâneas (
]
segue
Da segunda
vem
E da terceira
vem
Como
têm solução
,
,
.
Logo um vetor que funciona é
Logo um vetor que funciona é
Resposta
A transformação é
e um vetor satisfazendo
é .
é