Seja \mathrm{T}: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R}^{4}. Suponha que \mathrm{T}(1,0,0)=(2,1,0,1), \mathrm{T}(0,1,0)=(0,3,2,0), \mathrm{T}(0,0,1)=(1,-1,1,2). Determine a matriz de T e encontre \mathrm{v} \in \mathrm{R}^{3} tal que \mathrm{T}(\mathrm{v})=(5,2,3,4).
Passo 1
O enunciado descreve uma transformação linear \displaystyle T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4}
cuja ação nos vetores da base canônica é
Queremos (1) montar a matriz de T nessa base e (2) achar v\in\mathbb{R}^3 tal que T(v)=(5,2,3,4). Para isso usaremos a propriedade de linearidade e a resolução de um sistema linear.
Passo 2
Pela definição da matriz de uma transformação linear na base canônica, suas colunas são as imagens de (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Assim,
Das primeiras e da última equação resolvemos x e z.
Da primeira:
2x + z = 5 \quad\Longrightarrow\quad z = 5 - 2x.
Da quarta:
x + 2z = 4 \quad\Longrightarrow\quad x + 2(5-2x) = 4 \;\blacksquare\; -3x +10 = 4 \;\Longrightarrow\; x = 2,
logo z = 5 - 2\cdot 2 = 1.
Passo 5
Substituindo z=1 na terceira equação:
2y + z = 3 \quad\Longrightarrow\quad 2y + 1 = 3 \;\Longrightarrow\; y = 1.
Passo 6
Verificamos na segunda equação:
x + 3y - z = 2 + 3\cdot1 - 1 = 4 \neq 2,
há contradição. Isso significa que não existe (x,y,z) satisfazendo todas as quatro equações simultaneamente, ou seja, (5,2,3,4) não pertence à imagem de T.