Seja \mathrm{T}: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R}^{4}, definida por \mathrm{T}(1,0,0)=(1,1,0,2), \mathrm{T}(0,1,0)=(0,2,1,1), \mathrm{T}(0,0,1)=(-1,0,3,1). Determine a matriz de T e calcule \mathrm{v} \in \mathrm{R}^{3} tal que \mathrm{T}(\mathrm{v})=(2,3,4,5).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4} e pede dois itens:
  1. A matriz de \mathrm{T} nas bases canônicas.
  2. Um vetor \mathbf{v}=(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} tal que \mathrm{T}(\mathbf{v})=(2,3,4,5).
    Para isso usaremos a construção da matriz através das imagens dos vetores da base e depois resolveremos o sistema linear \;A\,(x,y,z)^{T}=(2,3,4,5)^{T}.

Passo 2

As colunas da matriz A de \mathrm{T} são \mathrm{T}(1,0,0), \mathrm{T}(0,1,0) e \mathrm{T}(0,0,1). Logo, em blocos:
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 3\\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para encontrar (x,y,z)\) tal que \(\mathrm{T}(x,y,z)=(2,3,4,5)\) montamos o sistema \[\begin{cases} x - z = 2,\\\ x + 2y = 3,\\\ y + 3z = 4,\\\\ 2x + y + z = 5. \end{cases}
Da primeira equação vem (x = z + 2]. Substituindo em cada uma das outras:
x+2y=3\;\Rightarrow\;(z+2)+2y=3\;\Rightarrow\;2y+z=1,
y+3z=4,
2x+y+z=5\;\Rightarrow\;2(z+2)+y+z=5\;\Rightarrow\;y+3z=1.

Passo 4

Comparando as duas últimas equações obtém-se
y+3z=4 \quad\text{e}\quad y+3z=1,
o que é impossível. Logo o sistema é inconsistente e não há solução em \mathbb{R}^3.

Resposta

Não existe \mathbf{v}\in\mathbb{R}^{3} tal que \mathrm{T}(\mathbf{v})=(2,3,4,5).

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