a) Encontre a inversa de A b) Ache o ponto x tal que A x=y onde y=(6,0,12)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A e precisamos fazer duas coisas:
a) Encontrar a inversa de A .
b) Encontrar o vetor x que satisfaz a equação A x = y , onde y = (6, 0, 12) .
Pra isso, vamos precisar entender de matrizes, cálculo de determinante, matriz adjunta e como resolver sistemas lineares. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a inversa da matriz A . Para uma matriz 3 times 3 , a inversa A^-1 existe se o determinante de A for diferente de zero. A fórmula para a inversa é:
A^-1 = 1det(A) , adj(A)
Onde det(A) é o determinante de A e adj(A) é a matriz adjunta de A .
Passo 3
Vamos calcular o determinante de A . A matriz A é:
A = 2 & 2 & -1 0 & 2 & -2 3 & 4 & -1
O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz A .
Então, det(A) = 6 , que é diferente de zero. Isso significa que A tem inversa.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a matriz adjunta adj(A) . A adjunta é a transposta da matriz cofatores. Primeiro, vamos calcular os cofatores de cada elemento de A .
Para cada elemento aij de A , o cofator Cij é dado por:
Cij = (-1)^i+j cdot Mij
Onde Mij é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.