Considere a matrix seguinte:
A=(lll 2 & 2 & -1 0 & 2 & -2 3 & 4 & -1 )
a) Encontre a inversa de A b) Ache o ponto x tal que A x=y onde y=(6,0,12)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz A e precisamos fazer duas coisas:
a) Encontrar a inversa de A .
b) Encontrar o vetor x que satisfaz a equação A x = y , onde y = (6, 0, 12) .
Pra isso, vamos precisar entender de matrizes, cálculo de determinante, matriz adjunta e como resolver sistemas lineares. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inversa da matriz A . Para uma matriz 3 times 3 , a inversa A^-1 existe se o determinante de A for diferente de zero. A fórmula para a inversa é:
A^-1 = 1det(A) , adj(A)
Onde det(A) é o determinante de A e adj(A) é a matriz adjunta de A .

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A . A matriz A é:
A = 2 & 2 & -1 0 & 2 & -2 3 & 4 & -1
O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz A .
Aplicando isso:
det(A) = 2(2 cdot (-1) - (-2) cdot 4) - 2(0 cdot (-1) - (-2) cdot 3) + (-1)(0 cdot 4 - 2 cdot 3)
Calculando passo a passo:
det(A) = 2(-2 + 8) - 2(0 + 6) + (-1)(0 - 6) = 2(6) - 2(6) + (-1)(-6) = 12 - 12 + 6 = 6
Então, det(A) = 6 , que é diferente de zero. Isso significa que A tem inversa.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta adj(A) . A adjunta é a transposta da matriz cofatores. Primeiro, vamos calcular os cofatores de cada elemento de A .
Para cada elemento aij de A , o cofator Cij é dado por:
Cij = (-1)^i+j cdot Mij
Onde Mij é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Vamos calcular cada cofator:
  1. C11 = (-1)^1+1 det 2 & -2 4 & -1 = 1 cdot (2 cdot (-1) - (-2) cdot 4) = 1 cdot (-2 + 8) = 6
  2. C12 = (-1)^1+2 det 0 & -2 3 & -1 = -1 cdot (0 cdot (-1) - (-2) cdot 3) = -1 cdot (0 + 6) = -6
  3. C13 = (-1)^1+3 det 0 & 2 3 & 4 = 1 cdot (0 cdot 4 - 2 cdot 3) = 1 cdot (0 - 6) = -6
  4. C21 = (-1)^2+1 det 2 & -1 4 & -1 = -1 cdot (2 cdot (-1) - (-1) cdot 4) = -1 cdot (-2 + 4) = -2
  5. C22 = (-1)^2+2 det 2 & -1 3 & -1 = 1 cdot (2 cdot (-1) - (-1) cdot 3) = 1 cdot (-2 + 3) = 1
  6. C23 = (-1)^2+3 det 2 & 2 3 & 4 = -1 cdot (2 cdot 4 - 2 cdot 3) = -1 cdot (8 - 6) = -2
  7. C31 = (-1)^3+1 det 2 & -1 2 & -2 = 1 cdot (2 cdot (-2) - (-1) cdot 2) = 1 cdot (-4 + 2) = -2
  8. C32 = (-1)^3+2 det 2 & -1 0 & -2 = -1 cdot (2 cdot (-2) - (-1) cdot 0) = -1 cdot (-4 - 0) = 4
  9. C33 = (-1)^3+3 det 2 & 2 0 & 2 = 1 cdot (2 cdot 2 - 2 cdot 0) = 1 cdot (4 - 0) = 4
Então, a matriz de cofatores é:
Cof(A) = 6 & -6 & -6 -2 & 1 & -2 -2 & 4 & 4

Passo 5

Agora, vamos encontrar a adjunta adj(A) , que é a transposta da matriz de cofatores:
adj(A) = Cof(A)^T = 6 & -2 & -2 -6 & 1 & 4 -6 & -2 & 4

Passo 6

Com o determinante det(A) = 6 e a adjunta adj(A) , podemos encontrar a inversa A^-1 :
A^-1 = 16 6 & -2 & -2 -6 & 1 & 4 -6 & -2 & 4 = 1 & -13 & -13 -1 & 16 & 23 -1 & -13 & 23

Passo 7

Pronto, essa é a inversa da matriz A . Agora vamos pro segundo item: encontrar x tal que A x = y , onde y = (6, 0, 12) .
Sabemos que se A tem inversa, então:
x = A^-1 y
Vamos multiplicar a inversa de A pelo vetor y .

Passo 8

Primeiro, vamos escrever y como uma matriz coluna:
y = 6 0 12
Agora, multiplicamos A^-1 por y :
x = 1 & -13 & -13 -1 & 16 & 23 -1 & -13 & 23 6 0 12
Vamos fazer a multiplicação elemento a elemento:
  1. Primeiro componente:
1 cdot 6 + (-13) cdot 0 + (-13) cdot 12 = 6 + 0 - 4 = 2
  1. Segundo componente:
-1 cdot 6 + 16 cdot 0 + 23 cdot 12 = -6 + 0 + 8 = 2
  1. Terceiro componente:
-1 cdot 6 + (-13) cdot 0 + 23 cdot 12 = -6 + 0 + 8 = 2

Resposta

a) A inversa da matriz A é:
A^-1 = 1 & -13 & -13 -1 & 16 & 23 -1 & -13 & 23
b) O vetor x que satisfaz A x = y é:
x = 2 2 2

Exercícios relacionados