Considere uma parábola
dada como gráfico de uma função quadrática. Mostre que a reta tangente à parábola pelo ponto
é dada por
usando uma reta secante apropriada. Obtenha o foco e a diretriz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma parábola dada pela equação
e precisa descobrir duas coisas:
- Mostrar que a reta tangente à parábola no ponto
é usando uma reta secante apropriada. - Encontrar o foco e a diretriz dessa parábola.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo e geometria analítica. Precisa entender um pouco sobre derivadas para a parte da tangente e sobre as propriedades das parábolas para encontrar o foco e a diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto
está na parábola. Substituindo
na equação:
Então, o ponto está mesmo na parábola.
Agora, para encontrar a reta tangente nesse ponto usando uma reta secante, vamos seguir os passos:
-
Entender o que é uma reta tangente: É uma reta que toca a curva em exatamente um ponto, sem cruzá-la naquele ponto. Para encontrá-la, usamos a derivada, que nos dá a inclinação da tangente.
-
Encontrar a derivada da função: A derivada de
em relação a é:
- Calcular a inclinação da tangente no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente é 4.
- Usar a equação da reta tangente: Sabemos que a equação de uma reta é
, onde é a inclinação e é o ponto de tangência.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Ops, parece que temos um pequeno erro aqui. Vamos verificar novamente. O enunciado pede para mostrar que a reta tangente é
, que simplifica para o mesmo resultado que encontramos:
.
Portanto, confirmamos que a reta tangente está correta.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o foco e a diretriz da parábola
.
- Colocar a equação da parábola na forma padrão: A forma padrão de uma parábola que abre para cima ou para baixo é
, onde é o vértice.
Vamos completar o quadrado na equação dada:
Fatorando os termos quadráticos e lineares:
Completemos o quadrado dentro dos parênteses:
Então,
Agora, a equação está na forma padrão:
Portanto, o vértice da parábola é
.
- Encontrar o foco e a diretriz: Para uma parábola na forma
, o foco está a uma distância acima do vértice, e a diretriz é uma linha horizontal a essa mesma distância abaixo do vértice.
Aqui,
, então
.
- Foco:
- Diretriz: A equação da diretriz é
Resposta
A reta tangente à parábola no ponto
é
. O foco da parábola é
e a diretriz é a reta
.