Questão: A condiçāo sobre valor de para que o sistema seja impossível (SI) é:
Passo 1
Vamos lá! O exercício nos dá um sistema de três equações com três incógnitas (x, y, z) e quer saber para qual valor de a esse sistema não tem solução, ou seja, é impossível. Para resolver isso, vamos usar álgebra linear, especificamente a técnica de escalonamento de matrizes para verificar quando o sistema se torna inconsistente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada, que combina os coeficientes das variáveis com os termos constantes:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples (escalonada) usando operações de linha. Vamos começar eliminando a primeira variável (x) das segunda e terceira linhas.
Primeiro, vamos multiplicar a primeira linha por 53 e subtrair da segunda linha para eliminar o x da segunda equação:
Linha 2 = Linha 2 - (53 times Linha 1)
Fazendo isso:
5 - 53 times 3 = 5 - 5 = 0 (eliminamos x)
2 - 53 times 3 = 2 - 5 = -3
1 - 53 times (-2) = 1 + 103 = 133
1 - 53 times 2 = 1 - 103 = -73
Então, a segunda linha fica:
0 -3 133 | -73
Passo 4
Agora, vamos eliminar o x da terceira linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por -23 e adicionamos à terceira linha:
Vamos simplificar a terceira linha para facilitar. Podemos multiplicar a terceira linha por -1 para tornar os coeficientes positivos:
4 1 53 | -a + 43
Passo 6
Agora, vamos eliminar a variável y da terceira linha usando a segunda linha. Primeiro, vamos multiplicar a segunda linha por 1-3 para simplificar:
0 1 -139 | 79
Agora, usamos essa linha para eliminar o y da terceira linha. Multiplicamos a segunda linha por 1 e subtraímos da terceira linha:
4 - 0 = 4
1 - 1 = 0
53 - (-139) = 53 + 139 = 289
-a + 43 - 79 = -a + 139
Então, a terceira linha fica:
4 0 289 | -a + 139
Passo 7
Agora, olhamos para a terceira linha. Como temos apenas a variável z nessa equação, podemos resolver para z:
4z = -a + 139
Para o sistema ser impossível, essa equação não pode ter solução, ou seja, deve levar a uma contradição. Mas, na verdade, essa equação sempre tem uma solução para z a menos que os coeficientes das variáveis sejam zero e o termo constante seja diferente de zero.
Vamos verificar se todas as variáveis se anulam e o termo constante não:
Para isso, os coeficientes de z devem ser zero:
4 = 0 e 289 = 0
Isso não acontece para nenhum valor de a, já que 4 neq 0 e 289 neq 0.
Resposta
Não existe valor de a que torne o sistema impossível. Ou seja, não há valor de a que faça o sistema ser inconsistente.