Considere a matriz A abaixo.
A=[rrrr 1 & k & -1 & 1 2 & 0 & 0 & 2 -1 & -1 & 0 & 1 1 & 0 & k & 0 ]
Para que valores de k a matriz A é inversível?

Passo 1

Vamos achar para quais k a matriz
A= 1 & k & -1 & 1 2 & 0 & 0 & 2 -1&-1& 0 & 1 1 & 0 & k & 0
é inversível. Sabemos que isso ocorre exatamente quando det(A)neq0. Como é uma matriz 4times4, vamos usar expansão por cofatores, escolhendo a coluna com mais zeros (a terceira coluna).

Passo 2

Expandindo det(A) pela terceira coluna, que tem entradas (-1,0,0,k), obtemos
det(A) =sumi=1^4(-1)^i+3ai3det(Mi3) =-1cdotdet(B1);+;(-1)^4+3kdet(B4),
onde
B1= 2 & 0 & 2 -1&-1&1 1 & 0 & 0 , B4= 1 & k & 1 2 & 0 & 2 -1&-1 &1

Passo 3

Calculando det(B1) pela regra de Sarrus ou cofatores:
det(B1) =2l((-1)cdot0-1cdot0r) -0l((-1)cdot0-1cdot1r) +2l((-1)cdot0-(-1)cdot1r) =2

Passo 4

Agora det(B4):
det(B4) =1cdotdet!0&2-1&1 - kcdotdet!2&2-1&1 +1cdotdet!2&0-1&-1 =1cdot2 - kcdot4 +1cdot(-2) =-4k

Passo 5

Substituindo em det(A):
det(A) =-1cdot2 ;+;(-1),kcdot(-4k) =-2 +4k^2 =4k^2-2

Passo 6

Para A ser inversível precisamos de
det(A)neq0 ;Long<=ftrightarrow; 4k^2-2neq0 ;Long<=ftrightarrow; k^2neqtfrac12 ;Long<=ftrightarrow; kneqpmtfrac1raiz2

Resposta

A matriz A é inversível para todos os k tais que
kneqpm1raiz2

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