Dado um sistema de n equações com n variáveis
ccccccc a11 x1 & + & a12 x2 & +ldots+ & a1 n xn & = & b1 a21 x1 & + & a22 x2 & +ldots+ & a2 n xn & = & b1 vdots & & vdots & & vdots & & vdots an 1 x1 & + & an 2 x2 & +ldots+ & an n xn & = & bn
Sabemos que o sistema pode ser escrito na forma matricial A X=B, onde
A=[cccc a11 & a12 & ldots & a1 n a21 & a22 & ldots & a2 n vdots & vdots & & vdots an 1 & an 2 & ldots & an n ], X=[c x1 x2 vdots xn ], B=[c b1 b2 vdots bn ]
Admitindo a existência da matriz A^-1, multiplicamos ambos os membros da igualdade A X=B por A^-1, e obtemos;
A^-1 A X=A^-1 B
Mas A^-1 A=I e I X=X, logo
X=A^-1 B
Isto é, a solução do sistema fica bastante simples, no caso em que a matriz dos coeficientes A admite uma inversa A^-1. Basta multiplicar a matriz A^-1 pela matriz B dos termos independentes. Sendo assim, em cada um dos sistemas de equações lineares abaixo, determinte se a matriz dos coeficientes admite uma inversa e em acaso afirmativo, encontre a inversa e resolva o sistema como feito acima.
a) c2 x+y+7 z=16 x+3 y+2 z=-5 5 x+3 y+4 z=11
b) cx+2 y-2 z=0 2 x+5 y-4 z=3 3 x+7 y-5 z=7
c) ccccc-2 x-y & +2 w & = 3 x+y-2 z & 2 w & = & 3 -4 x-y+2 z+3 w & = & 12 3 x+y-z-2 w & = & 10
d) c-2 x+3 y-z=2 x-3 y+z=5 -x+2 y-z=7

Passo 1

O enunciado pede para cada um dos sistemas de equações lineares verificar se a matriz de coeficientes A é inversível (isto é, det Aneq0), e se for, encontrar A^-1 pelo método da matriz adjunta (adjugate) e usar
X = A^-1B
para obter a solução. Vamos aplicar esse procedimento aos itens (a), (b), (c) e (d).

Passo 2

(a) Sistema
Matriz de coeficientes
Calculamos por expansão na primeira linha:
Logo é inversível. Encontramos a matriz de cofatores, depois a adjunta (transposta da matriz de cofatores) e obtém-se
Multiplicando por ,
]

Passo 3

(b) Sistema
x + 2y - 2z = 0, 2x + 5y - 4z = 3, 3x + 7y - 5z = 7
Matriz
A = 1&2&-22&5&-43&7&-5, B=037
Calcula-se
det A = 1cdot(-25+28)-2cdot(-10+12)-2cdot(14-15)=1-4+2=1neq0,
logo inversível com det A=1. A adjunta dá
A^-1 = 3 & -4 & 2 -2 & 1 & 0 -1 & -1 & 1 ,
e
X = A^-1B = 234

Passo 4

(c) O enunciado do item (c) apresenta a matriz de coeficientes de ordem 4, mas falta o termo independente da primeira equação (RHS). Como esse dado está ausente, não é possível formar completamente o vetor B nem resolver o sistema.

Passo 5

(d) Sistema
-2x + 3y - z = 2, x - 3y + z = 5, -,x + 2y - z = 7
Matriz
A = -2&3&-11&-3&1-1&2&-1, B=257
Calcula-se
det A = -2cdot(3cdot(-1)-1cdot2)-3cdot(1cdot(-1)-1cdot(-1)) -1cdot(1cdot2-(-3)cdot(-1))=-1neq0,
logo inversível. A adjunta é
adj(A) = 1 & 0 & -1 1 & 1 & 1 0 & 1 & 3 ,
então
A^-1 = -,adj(A) = -1&0&1 0&-1&-1 1&-1&-3 ,
e
X = A^-1B =-7-12-24

Resposta

(a) det A=-66neq0,
A^-1= -tfrac111 & -tfrac1766 & tfrac1966 -tfrac111 & tfrac922 & -tfrac122 tfrac211 & tfrac166 & -tfrac566 , (x,y,z)=(3,-4,2)
(b) det A=1,
A^-1=3&-4&2-2&1&0-1&-1&1, (x,y,z)=(2,3,4)
(c) Dados insuficientes (falta o termo independente da 1ª equação).
(d) det A=-1neq0,
A^-1=-1&0&10&-1&-11&-1&-3, (x,y,z)=(-7,-12,-24)

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