Determine se a matriz abaixo é inversível e em caso afirmativo, determine sua inversa.
[rrr1 & 3 & 1 2 & 1 & 1 -2 & 2 & -1]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 3 & 1 2 & 1 & 1 -2 & 2 & -1
e pede para decidir se ela é inversível e, em caso afirmativo, achar A^-1. O conteúdo envolvido é o cálculo do determinante para testar a inversibilidade e, depois, o uso da adjunta (matriz de cofatores transposta) para obter a inversa.

Passo 2

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet!1 & 12 & -1 -3cdotdet!2 & 1-2 & -1 +1cdotdet!2 & 1-2 & 2
Aqui
detl(1&12&-1r)=1cdot(-1)-1cdot2=-3, detl(2&1-2&-1r)=2cdot(-1)-1cdot(-2)=0, detl(2&1-2&2r)=2cdot2-1cdot(-2)=6
Logo
det(A)=1cdot(-3)-3cdot0+1cdot6=3neq0,
então A é inversível.

Passo 3

Para obter A^-1 pelo método da adjunta, calculamos a matriz de cofatores Cof(A), onde cada entrada
Cij=(-1)^i+jdet(Mij)
e Mij é o menor obtido eliminando linha i e coluna j. O resultado é
Cof(A) = -3 & 0 & 6 5 & 1 & -8 2 & 1 & -5

Passo 4

A adjunta de A é a transposta da matriz de cofatores:
adj(A) =(Cof(A))^T = -3 & 5 & 2 0 & 1 & 1 6 & -8 & -5

Passo 5

Finalmente, a inversa é
A^-1 =1det(A),adj(A) =13 -3 & 5 & 2 0 & 1 & 1 6 & -8 & -5 = -1 & tfrac53 & tfrac23[6pt] 0 & tfrac13 & tfrac13[6pt] 2 & -tfrac83 & -tfrac53 ]

Resposta

A matriz é inversível e
A^-1 = -1 & tfrac53 & tfrac23 0 & tfrac13 & tfrac13 2 & -tfrac83 & -tfrac53

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