Considere a matriz A abaixo
A=(cccc1 & 5 & 0 & 2 -1 & -1 & -3 & 1 -3 & -1 & -3 & -3 -2 & -1 & 2 & -3)
Qual é o valor do determinante da matriz A ?

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A= 1 & 5 & 0 & 2 -1 & -1 & -3 & 1 -3 & -1 & -3 & -3 -2 & -1 & 2 & -3
e pede det(A). O conteúdo é cálculo de determinante de uma matriz 4times4; vamos usar operações elementares nas linhas para simplificar e depois fazer expansão por cofatores.

Passo 2

Escolhemos eliminar as entradas da coluna 1 abaixo de a11=1 somando múltiplos da linha 1 às demais linhas. Essas operações não mudam o determinante:
L2 L2+L1
L3 L3+3L1
L4 L4+2L1
Isso leva a
1 & 5 & 0 & 2 0 & 4 & -3 & 3 0 & 14 & -3 & 3 0 & 9 & 2 & 1

Passo 3

Agora expandimos o determinante pela primeira coluna. Como só o elemento 1 na posição (1,1) é não-nulo, temos
det(A) =1cdot det! 4 & -3 & 3 14 & -3 & 3 9 & 2 & 1
Chamemos essa matriz de B. Logo det(A)=det(B).

Passo 4

Para det(B) usamos expansão por cofatores na primeira linha de B:
det(B) =4det!-3 & 32 & 1 -(-3)det!14 & 39 & 1 +3det!14 & -39 & 2

Passo 5

Calculamos cada menor:
det-3 & 32 & 1 =(-3)cdot1 - 3cdot2 = -3-6 = -9,
det14 & 39 & 1 =14cdot1 - 3cdot9 =14-27 = -13,
det14 & -39 & 2 =14cdot2 - (-3)cdot9 =28+27 = 55
Substituindo:
det(B) =4cdot(-9) -(-3)cdot(-13) +3cdot55 =-36 -39 +165 = 90

Passo 6

Portanto,
det(A)=det(B)=90

Resposta

det(A)=90

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