Seja T a transformação linear de R^3 em R^2 dada por T(x, y, z)=(2 x+ y-z, x+2 y). Fixadas as bases A=(1,0,0),(2,-1,0),(0,1,1) e B=(-1,1),(0,1), de R^3 e R^2, respectivamente, e considerando v=(1,2,0) in R^3,
Dê o vetor-coordenadas de v em relação à base A.

Passo 1

O enunciado pede para achar as coordenadas de v=(1,2,0) em relação à base
A=,v1=(1,0,0),;v2=(2,-1,0),;v3=(0,1,1)
Como A é base de R^3, existe uma única tripla (alpha,beta,gamma) tal que
v=alpha,v1+beta,v2+gamma,v3

Passo 2

Escrevendo a combinação linear coordenada a coordenada, temos
alpha(1,0,0)+beta(2,-1,0)+gamma(0,1,1) ;=;(1,2,0)
Comparando componentes, obtemos o sistema
alpha + 2beta + 0gamma = 1, 0alpha - beta + gamma = 2, 0alpha + 0beta + gamma = 0
Ou seja,
alpha + 2beta = 1, -beta + gamma = 2, gamma = 0

Passo 3

Da terceira equação vem gamma=0. Substituindo na segunda:
-beta + 0 = 2Longrightarrowbeta = -2
Agora, na primeira:
alpha + 2(-2) = 1Longrightarrowalpha -4 = 1Longrightarrowalpha = 5

Passo 4

Assim os coeficientes que expressam v em função dos vetores de A são
alpha=5, beta=-2, gamma=0

Resposta

As coordenadas de v em relação à base A são
[v]A = (5,,-2,,0)

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