Sejam e c=[r4 -2 1]. Responda os itens a seguir.
(f) (0,5 ponto) Calcule os autovalores de A^6 e seus autovetores linearmente independentes associados.
Passo 1
O enunciado pede os autovalores de A^6 e os autovetores associados, sabendo que
A=2&0&11&1&10&0&1
O conteúdo que vamos usar é: (i) para matrizes triangulares, os autovalores são os elementos da diagonal; (ii) se Av=lambda v então A^6v=lambda^6v, ou seja, os autovetores de A continuam sendo de A^6 e cada autovalor é elevado à sexta potência; (iii) para achar autovetores, resolvemos (A-lambda I)x=0.
Passo 2
Como A é triangular superior, seus autovalores são just as entradas da diagonal: lambda1=2, lambda2=1, lambda3=1.
Passo 3
Para resolvemos , i.e.
Dessas equações vem e . Um autovetor não nulo é
Passo 4
Para resolvemos , i.e.
Dessa vez e livre. Dois geradores de espaço próprio são
que são linearmente independentes.
Passo 5
Pela propriedade de potências de autovalores, os autovalores de A^6 são lambda1^6=2^6=64 e lambda2^6=lambda3^6=1^6=1, e os autovetores são exatamente os mesmos de A.
Resposta
Os autovalores de A^6 são 64,1,1.
Os autovetores associados podem ser escolhidos como