Sejam A=[lll2 & 0 & 1 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1], B=[rrr-2 & 0 & 0 0 & 12 & 0 0 & 0 & 13] e c=[r4 -2 1]. Responda os itens a seguir.
(f) (0,5 ponto) Calcule os autovalores de A^6 e seus autovetores linearmente independentes associados.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores de A^6 e os autovetores associados, sabendo que
A=2&0&11&1&10&0&1
O conteúdo que vamos usar é: (i) para matrizes triangulares, os autovalores são os elementos da diagonal; (ii) se Av=lambda v então A^6v=lambda^6v, ou seja, os autovetores de A continuam sendo de A^6 e cada autovalor é elevado à sexta potência; (iii) para achar autovetores, resolvemos (A-lambda I)x=0.

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são just as entradas da diagonal:
lambda1=2, lambda2=1, lambda3=1.

Passo 3

Para resolvemos , i.e.
Dessas equações vem e . Um autovetor não nulo é

Passo 4

Para resolvemos , i.e.
Dessa vez e livre. Dois geradores de espaço próprio são
que são linearmente independentes.

Passo 5

Pela propriedade de potências de autovalores, os autovalores de A^6 são
lambda1^6=2^6=64 e lambda2^6=lambda3^6=1^6=1, e os autovetores são exatamente os mesmos de A.

Resposta

Os autovalores de A^6 são 64,1,1.
Os autovetores associados podem ser escolhidos como
v1=110 (para 64), v2=-101,; v3=010 (para 1)

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