Considere a matriz
A=[rrr 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ]
(b) Calcule o polinômio característico, os autovalores e os respectivos autoespaços de A.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico de A, seus autovalores e autoespaços. Vamos usar a definição
p(lambda)=det(lambda I - A),
fatorar p(lambda) para encontrar os autovalores e, em seguida, resolver (A-lambda I)v=0 para cada autovalor, obtendo os autoespaços.

Passo 2

Formamos
lambda I - A = lambda & 1 & -1 1 & lambda & -1 -1 & -1 & lambda
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
p(lambda) =det(lambda I - A) =lambda lambda & -1 -1 & lambda -1 1 & -1 -1 & lambda +(-1) 1 & lambda -1 & -1
Agora os menores:
lambda & -1 -1 & lambda =lambda^2-1, 1 & -1 -1 & lambda =lambda-1, 1 & lambda -1 & -1 =-1-lambda
Substituindo,
p(lambda) =lambda(lambda^2-1) -1,( lambda-1) -1,(-1-lambda) =lambda^3-lambda-lambda+1+1+lambda =lambda^3-3lambda+2

Passo 3

Fatoramos o polinômio:
lambda^3-3lambda+2 =(lambda-1)^2(lambda+2)
Os autovalores são as raízes:
lambda1=1(mu<iplicidade algébrica 2), lambda2=-2(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 4

Autoespaço para . Resolvemos
As duas primeiras linhas coincidem e a terceira é seu oposto, levando à única equação
Temos duas variáveis livres, por exemplo e . Uma base para o autoespaço é
logo

Passo 5

Autoespaço para . Resolvemos
Das duas primeiras linhas obtemos
que levam a e . A terceira linha é dependente das anteriores. Logo o autoespaço é de dimensão , com vetor próprio
Assim

Resposta

Polinômio característico:
p(lambda) = lambda^3 - 3lambda + 2
Autovalores:
lambda = 1 (mult. alg. 2), lambda = -2 (mult. alg. 1).
Autoespaços:
E1 = span(1,0,1),,(0,1,1), E-2 = span(1,1,-1)

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