Considere a matriz
(b) Calcule o polinômio característico, os autovalores e os respectivos autoespaços de
A .
Passo 1
O enunciado pede o polinômio característico de
A , seus autovalores e autoespaços. Vamos usar a definição
fatorar
p(lambda) para encontrar os autovalores e, em seguida, resolver
(A-lambda I)v=0 para cada autovalor, obtendo os autoespaços.
Passo 2
Formamos
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
Agora os menores:
Substituindo,
Passo 3
Fatoramos o polinômio:
Os autovalores são as raízes:
Passo 4
Autoespaço para
. Resolvemos
As duas primeiras linhas coincidem e a terceira é seu oposto, levando à única equação
Temos duas variáveis livres, por exemplo
e
. Uma base para o autoespaço é
logo
Passo 5
Autoespaço para
. Resolvemos
Das duas primeiras linhas obtemos
que levam a
e
. A terceira linha é dependente das anteriores. Logo o autoespaço é de dimensão
, com vetor próprio
Assim
Resposta
Polinômio característico:
Autovalores:
lambda = 1 (mult. alg.
2 ),
lambda = -2 (mult. alg.
1 ).
Autoespaços:
Autoespaços: