Considere os seguintes vetores em R^3.
V1=(1,-1,1) V2=(4,-2,0) V3=(0,-1,2)
(a) Estes vetores são LI ou LD?

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
V1 = (1,-1,1), V2 = (4,-2,0), V3 = (0,-1,2),
e pede para decidir se são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD).
Em R^3, um critério prático é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular seu determinante: se for não nulo, os vetores são LI; se for zero, são LD.

Passo 2

Formamos a matriz A com colunas V1,V2,V3:
A = 1 & 4 & 0 -1 & -2 & -1 1 & 0 & 2

Passo 3

Calculamos det(A) expandindo pela primeira linha:
det(A) = 1cdotdet!-2 & -10 & 2 -4cdotdet!-1 & -11 & 2
Agora,
det!-2 & -10 & 2 = (-2)cdot2 - (-1)cdot0 = -4,
det!-1 & -11 & 2 = (-1)cdot2 - (-1)cdot1 = -2 + 1 = -1
Logo,
det(A) = 1cdot(-4) -4cdot(-1) = -4 + 4 = 0

Passo 4

Como det(A)=0, a única conclusão possível é que existe combinação linear não trivial de V1,V2,V3 que dá o vetor nulo. Portanto os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Eles são linearmente dependentes.

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