Considere a seguinte matriz
A=[rrr 5 & -6 & 3 3 & -4 & 3 0 & 0 & 2 ]
(b) Determine os autoespaços de A e uma base para cada um destes autoespaços.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 5 & -6 & 3 3 & -4 & 3 0 & 0 & 2
e pede os autoespaços de A (ou seja, os espaços ker(A-lambda I) para cada autovalor lambda) e uma base para cada autoespaço. Para isso precisamos:
1. Encontrar os autovalores de A resolvendo det(A-lambda I)=0.
2. Para cada autovalor lambda, resolver (A-lambda I)x=0 para obter o autoespaço e extrair uma base.

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico det(A-lambda I). Como A é triangular em blocos,
det(A-lambda I) =det 5-lambda & -6 & 3 3 & -4-lambda & 3 0 & 0 & 2-lambda =(2-lambda),det5-lambda & -63 & -4-lambda
Agora
det5-lambda & -63 & -4-lambda =(5-lambda)(-4-lambda)-(-6)cdot3 =lambda^2-lambda-2 =(lambda-2)(lambda+1)
Portanto
det(A-lambda I)=(2-lambda)(lambda-2)(lambda+1) =- (lambda-2)^2(lambda+1)
Os autovalores são lambda=-1 (mult. alg. 1) e lambda=2 (mult. alg. 2).

Passo 3

Autoespaço para lambda=-1: resolvemos
(A+I)x=0, A+I= 6 & -6 & 3 3 & -3 & 3 0 & 0 & 3
Isso dá o sistema
6x-6y+3z=0, 3x-3y+3z=0, 3z=0
Da terceira equação vem z=0. Então as duas primeiras reduzem-se a
6x-6y=0;Longrightarrow;x=y
Logo todo vetor do autoespaço é (x,x,0)=x,(1,1,0).
Base de ker(A+I):
(1,1,0)

Passo 4

Autoespaço para lambda=2: resolvemos
(A-2I)x=0, A-2I= 3 & -6 & 3 3 & -6 & 3 0 & 0 & 0
O sistema correspondente é
3x-6y+3z=0 ;Long<=ftrightarrow; x-2y+z=0
Não há mais equações independentes. Tomando y e z como parâmetros livres, escrevemos
x=2y-z,
de modo que
x,y,z =(2y-z,,y,,z) =y,(2,1,0)+z,(-1,0,1)
Assim o autoespaço é bidimensional e uma base é dada por
(2,1,0),,(-1,0,1)

Resposta

Para A os autoespaços e bases são:
(a) lambda=-1:
E-1 = ker(A+I) =span(1,1,0)
(b) lambda=2:
E2 = ker(A-2I) =span(2,1,0),,(-1,0,1)

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