Considere os seguintes vetores de R^4.
V1=(1,-2,5,-2) e V2=(3,-2,-1,2)
Seja W o conjunto dos vetores de R^4 que são ortogonais a V1 e a V2.
(a) Determine uma base W1, W2 para W.

Passo 1

O enunciado dá os vetores em R^4
V1=(1,-2,5,-2), V2=(3,-2,-1,2)
e define
W=,xinR^4mid xcdot V1=0,;xcdot V2=0
O conteúdo aqui é resolução de um sistema linear homogêneo dado pelas condições de ortogonalidade.

Passo 2

Escrevemos x=(x1,x2,x3,x4) e impomos
xcdot V1=x1-2x2+5x3-2x4=0,
xcdot V2=3x1-2x2-x3+2x4=0

Passo 3

Tomamos x3=s e x4=t como parâmetros livres e resolvemos para x1,x2. Das duas equações temos
x1-2x2=-5s+2t,
3x1-2x2=s-2t
Subtraindo a primeira equação vezes 3 da segunda, obtemos
4x2=16s-8tLongrightarrow x2=4s-2t
Em seguida, de x1-2x2=-5s+2t segue
x1=-5s+2t+2(4s-2t)=3s-2t

Passo 4

Portanto a solução geral é
x=(x1,x2,x3,x4) =(3s-2t,;4s-2t,;s,;t) =s,(3,4,1,0)+t,(-2,-2,0,1)
Dessa forma, uma base de W é
W1=(3,4,1,0), W2=(-2,-2,0,1)

Resposta

W1=(3,4,1,0), W2=(-2,-2,0,1)

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