Seja A=[cc1 & -6 -2 & 5] uma matriz de ordem 2 .
A é diagonalizável? Em caso afirmativo, obtenha matrizes P e D tais que P^-1 A P= D.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & -6 -2 & 5
e pede para verificar se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar a matriz de passagem P e a matriz diagonal D tais que P^-1AP = D. O conteúdo necessário é o cálculo de autovalores e autovetores para construir a diagonalização.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico det(A-lambda I):
det1-lambda & -6 -2 & 5-lambda =(1-lambda)(5-lambda)-(-6)(-2) =lambda^2-6lambda-7
As raízes da equação lambda^2-6lambda-7=0 são
lambda = 6pmraiz36+282 = 6pm82,
logo lambda1 = 7 e lambda2 = -1, distintos, garantindo que A é diagonalizável.

Passo 3

Para , resolvemos :
Um autovetor correspondente é .

Passo 4

Para , resolvemos :
Um autovetor correspondente é .

Passo 5

Formamos a matriz de passagem com os autovetores como colunas:
P = 1 & 3 -1 & 1,
cuja determinante é det(P)=4neq0, e a matriz diagonal dos autovalores:
D = 7 & 0 0 & -1
Assim, temos
P^-1 A P = D

Resposta

P = 1 & 3 -1 & 1, D = 7 & 0 0 & -1

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