Considere a matriz B=\left(\begin{array}{lll}4 & 7 & 2 \\\\ 1 & 3 & 5 \\\\ 6 & 9 & 8\end{array}\right). Verifique se B é invertível. Se for, calcule B^{-1}.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
B = \begin{pmatrix} 4 & 7 & 2\\\\ 1 & 3 & 5\\\\ 6 & 9 & 8 \end{pmatrix}
e pede para verificar se B é invertível. Para isso, vamos calcular \det(B). Se \det(B)\neq0, então B é invertível e podemos usar
B^{-1} = \frac{1}{\det(B)}\,\mathrm{adj}(B),
onde \mathrm{adj}(B) é a matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores).

Passo 2

Calculamos \det(B) pela regra de Sarrus ou expansão pela primeira linha:
\det(B) =4\begin{vmatrix}3 & 5\\\ 9 & 8\end{vmatrix} -7\begin{vmatrix}1 & 5\\\ 6 & 8\end{vmatrix} +2\begin{vmatrix}1 & 3\\\ 6 & 9\end{vmatrix}.
Agora cada menor:
\begin{vmatrix}3 & 5\\\ 9 & 8\end{vmatrix} =3\cdot8-5\cdot9=-21, \quad \begin{vmatrix}1 & 5\\\ 6 & 8\end{vmatrix} =1\cdot8-5\cdot6=-22, \quad \begin{vmatrix}1 & 3\\\ 6 & 9\end{vmatrix} =1\cdot9-3\cdot6=-9.

Passo 3

Substituindo:
\det(B) =4\cdot(-21)-7\cdot(-22)+2\cdot(-9) =-84+154-18=52.
Como \det(B)=52\neq0, concluímos que B é invertível.

Passo 4

Agora montamos a matriz de cofatores C, cujo elemento C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, em que M_{ij} é o menor de ordem 2 removendo linha i e coluna j. Calculando todos:
C=\begin{pmatrix} -21 & 22 & -9\\\\ -38 & 20 & 6\\\\ 29 & -18 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 5

A adjunta de B é a transposta de C:
\mathrm{adj}(B) =C^{T} =\begin{pmatrix} -21 & -38 & 29\\\\ 22 & 20 & -18\\\\ -9 & 6 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 6

Finalmente, pelo teorema da inversa,
B^{-1} =\frac{1}{52}\,\mathrm{adj}(B) =\frac{1}{52} \begin{pmatrix} -21 & -38 & 29\\\\ 22 & 20 & -18\\\\ -9 & 6 & 5 \end{pmatrix}.

Resposta

B^{-1} =\begin{pmatrix} -\tfrac{21}{52} & -\tfrac{19}{26} & \tfrac{29}{52}\\[6pt] \tfrac{11}{26} & \tfrac{5}{13} & -\tfrac{9}{26}\\[6pt] -\tfrac{9}{52} & \tfrac{3}{26} & \tfrac{5}{52} \end{pmatrix}.]

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