Exercício 4. Mostre que, se k<0, a equação x^{2}+y^{2}+z^{2}+a x+b y+c z+k=0 descreve uma superfície esférica, quaisquer que sejam os números reais a, b e c.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}+a x+b y+c z+k=0
com k<0 e pede para mostrar que isso é uma esfera, isto é, que pode ser escrita como soma de quadrados igual a um raio ao quadrado. Para isso vamos completar o quadrado em x, y e z.

Passo 2

Agrupamos os termos quadráticos e lineares em x,y,z e completamos o quadrado:
x^{2}+a x+y^{2}+b y+z^{2}+c z =\Bigl(x+\frac{a}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(y+\frac{b}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(z+\frac{c}{2}\Bigr)^{2} -\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}\,.

Passo 3

Substituindo essa identidade na equação original, obtemos
\Bigl(x+\frac{a}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(y+\frac{b}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(z+\frac{c}{2}\Bigr)^{2} -\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}+k=0\,.

Passo 4

Isolando a soma de quadrados, vem
\Bigl(x+\frac{a}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(y+\frac{b}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(z+\frac{c}{2}\Bigr)^{2} =\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}-k\,.
Como k<0, o lado direito é positivo, definindo r^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}-k>0.

Passo 5

Reconhecemos a forma padrão de uma esfera de centro \bigl(-\tfrac{a}{2},-\tfrac{b}{2},-\tfrac{c}{2}\bigr) e raio r.

Resposta

A equação define a esfera de centro \bigl(-\tfrac{a}{2},-\tfrac{b}{2},-\tfrac{c}{2}\bigr) e raio
r = \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}-k}\,.

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