Exercício 4. Mostre que, se
, a equação
descreve uma superfície esférica, quaisquer que sejam os números reais
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície de equação
com
e pede para mostrar que isso é uma esfera, isto é, que pode ser escrita como soma de quadrados igual a um raio ao quadrado. Para isso vamos completar o quadrado em
,
e
.
Passo 2
Agrupamos os termos quadráticos e lineares em
e completamos o quadrado:
Passo 3
Substituindo essa identidade na equação original, obtemos
Passo 4
Isolando a soma de quadrados, vem
Como
, o lado direito é positivo, definindo
.
Passo 5
Reconhecemos a forma padrão de uma esfera de centro
e raio
.
Resposta
A equação define a esfera de centro
e raio