Seja a matriz A=\left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\\\ 1 & 4\end{array}\right). Calcule a matriz inversa de A, se existir.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}3 & 2 \\[0.3em] 1 & 4\end{pmatrix}
e pede sua inversa, se existir. O conteúdo que vamos usar é a fórmula de inversão de matrizes 2\times2: primeiro calculamos o determinante e depois usamos a matriz adjunta (ou classe de cofatores transposta).]

Passo 2

Calculamos o determinante de A. Para uma matriz \displaystyle A = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
temos
\det(A) = a\,d - b\,c.
No nosso caso,
\det(A) = 3\cdot4 - 2\cdot1 = 12 - 2 = 10.
Como \det(A)=10\neq0, a matriz é invertível.

Passo 3

A fórmula da inversa para matriz 2\times2 é
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\[0.3em] -c & a \end{pmatrix}.
Substituindo a=3, b=2, c=1, d=4 e \det(A)=10, obtemos
A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[0.3em] -1 & 3 \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[0.3em] -1 & 3 \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados