Seja T: V_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow V_{2}(\mathbb{R}), T\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(u_{1}+u_{2}, 2 u_{2}\right).
1.1 Determine os autovalores de T
1.2 Determine os autovetores de T
1.3 Determine uma base de V_{2}(\mathbb{R}) onde a representação matricial de T seja uma matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon V_{2}(\mathbb{R})\to V_{2}(\mathbb{R}),\quad T(u_{1},u_{2})=(u_{1}+u_{2},\,2u_{2}).
O conteúdo aqui é encontrar autovalores e autovetores de uma aplicação em \mathbb{R}^2 e, em seguida, diagonalizá-la. Para isso vamos escrever a matriz de T na base canônica, obter o polinômio característico, resolver \det(M-\lambda I)=0, achar os autovetores e, finalmente, escolher uma base de autovetores que diagonaliza T.

Passo 2

Na base canônica \{e_{1}=(1,0),e_{2}=(0,1)\} temos
T(e_{1})=(1,0),\quad T(e_{2})=(1,2),
logo a matriz de T é
M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[0.3em] 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 3

O polinômio característico é
\det(M-\lambda I) =\det\!\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 \\[0.3em] 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)(2-\lambda).
Assim, os autovalores são
\lambda_{1}=1, \quad \lambda_{2}=2.]

Passo 4

Para \lambda_{1}=1 resolvemos (M-I)x=0:
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\[0.3em] 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[0.2em]x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[0.2em]0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; x_{2}=0.
Logo os autovetores associados a \lambda_{1}=1 são todos os múltiplos de (1,0).
Para \lambda_{2}=2 resolvemos (M-2I)x=0:
\begin{pmatrix} -1 & 1 \\[0.3em] 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[0.2em]x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[0.2em]0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; -\,x_{1}+x_{2}=0 \;\Longrightarrow\; x_{2}=x_{1}.
Logo os autovetores associados a \lambda_{2}=2 são todos os múltiplos de (1,1).]

Passo 5

Como obtivemos dois autovalores distintos com autovetores linearmente independentes, a transformação é diagonalizável. Basta escolher a base de autovetores
\mathcal{B}=\bigl\{(1,0),\,(1,1)\bigr\}.
Na base \mathcal{B} a matriz de T é diagonal com entradas \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=2.

Resposta

1.1 Os autovalores são \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=2.
1.2 Os autovetores associados são:
\lambda_{1}=1\colon todos os múltiplos de (1,0),
\lambda_{2}=2\colon todos os múltiplos de (1,1).
1.3 Uma base que diagonaliza T é \{(1,0),\,(1,1)\}.

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