Seja
.
1.1 Determine os autovalores de
1.2 Determine os autovetores de
1.3 Determine uma base de
onde a representação matricial de
seja uma matriz diagonal.
1.1 Determine os autovalores de
1.2 Determine os autovetores de
1.3 Determine uma base de
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
O conteúdo aqui é encontrar autovalores e autovetores de uma aplicação em
e, em seguida, diagonalizá-la. Para isso vamos escrever a matriz de
na base canônica, obter o polinômio característico, resolver
, achar os autovetores e, finalmente, escolher uma base de autovetores que diagonaliza
.
Passo 2
Na base canônica
temos
logo a matriz de
é
Passo 3
O polinômio característico é
Assim, os autovalores são
Passo 4
Para
resolvemos
:
Logo os autovetores associados a
são todos os múltiplos de
.
Para
resolvemos
:
Logo os autovetores associados a
são todos os múltiplos de
.]
Passo 5
Como obtivemos dois autovalores distintos com autovetores linearmente independentes, a transformação é diagonalizável. Basta escolher a base de autovetores
Na base
a matriz de
é diagonal com entradas
e
.
Resposta
1.1 Os autovalores são
e
.
1.2 Os autovetores associados são:
todos os múltiplos de
,
todos os múltiplos de
.
1.3 Uma base que diagonaliza é
.
1.2 Os autovetores associados são:
1.3 Uma base que diagonaliza