Seja
.
2.1 Determine os autovalores de
2.2 Determine os autovetores de
2.3 Determine uma base de
onde a representação matricial de
seja uma matriz diagonal.
2.1 Determine os autovalores de
2.2 Determine os autovetores de
2.3 Determine uma base de
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede (2.1) os autovalores de
, (2.2) os autovetores correspondentes e (2.3) uma base de
em que a matriz de
seja diagonal. Vamos usar a definição de autovalor e autovetor:
com
.
Passo 2
Para achar os autovalores
, considere um vetor genérico
. A condição
dá o sistema
Isto implica
Da primeira equação temos ou
ou
. Da segunda, ou
ou
. As escolhas compatíveis levam justamente a
Passo 3
Para cada valor de
determinamos o espaço próprio:
Logo os autovetores são os
não nulos, ou seja
Logo os autovetores são os
não nulos, ou seja
Passo 4
Como temos dois autovalores distintos com espaços próprios unidimensionais, basta escolher um vetor não-nulo de cada espaço próprio para formar uma base que diagonaliza
. Por exemplo
Na base
, a matriz de
age como
logo a matriz é diagonal com entradas
e
.
Resposta
2.1 Os autovalores são
e
.
2.2 Os autovetores correspondentes formam
2.2 Os autovetores correspondentes formam
2.3 Uma base que diagonaliza
é
, em que a matriz de
fica