Seja T: V_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow V_{2}(\mathbb{R}), T\left(u_{1}, u_{2}\right)=\left(u_{1}, 0\right).
2.1 Determine os autovalores de T
2.2 Determine os autovetores de T
2.3 Determine uma base de V_{2}(\mathbb{R}) onde a representação matricial de T seja uma matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon V_2(\mathbb{R}) \to V_2(\mathbb{R}),\quad T(u_1,u_2)=(u_1,0),
e pede (2.1) os autovalores de T, (2.2) os autovetores correspondentes e (2.3) uma base de V_2(\mathbb{R}) em que a matriz de T seja diagonal. Vamos usar a definição de autovalor e autovetor: \,T(v)=\lambda v com v\neq0.

Passo 2

Para achar os autovalores \lambda, considere um vetor genérico v=(x,y)\neq(0,0). A condição T(v)=\lambda v dá o sistema
(x,0)=(\lambda x,\;\lambda y).
Isto implica
x=\lambda x, \quad 0=\lambda y.
Da primeira equação temos ou \,x=0 ou \,\lambda=1. Da segunda, ou \,y=0 ou \,\lambda=0. As escolhas compatíveis levam justamente a
\lambda=1 \quad\text{ou}\quad \lambda=0.

Passo 3

Para cada valor de \lambda determinamos o espaço próprio:
\lambda=1:\quad x=1\cdot x\\ \text{(vale sempre)}\quad\text{e}\quad 1\cdot y=0\implies y=0.
Logo os autovetores são os (x,0) não nulos, ou seja
E_1=\{(x,0)\mid x\neq0\}=\span\{(1,0)\}.
\lambda=0:\quad x=0\quad\text{e}\quad 0\cdot y=0\\ \text{(vale sempre)}.
Logo os autovetores são os (0,y) não nulos, ou seja
E_0=\{(0,y)\mid y\neq0\}=\span\{(0,1)\}.

Passo 4

Como temos dois autovalores distintos com espaços próprios unidimensionais, basta escolher um vetor não-nulo de cada espaço próprio para formar uma base que diagonaliza T. Por exemplo
\mathcal{B}=\{(1,0),\,(0,1)\}.
Na base \mathcal{B}, a matriz de T age como
T(1,0)=(1,0)=1\cdot(1,0), \quad T(0,1)=(0,0)=0\cdot(0,1),
logo a matriz é diagonal com entradas 1 e 0.

Resposta

2.1 Os autovalores são \lambda=1 e \lambda=0.
2.2 Os autovetores correspondentes formam
E_1=\span\{(1,0)\}, \quad E_0=\span\{(0,1)\}.
2.3 Uma base que diagonaliza T é \{(1,0),(0,1)\}, em que a matriz de T fica
\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

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