Sejam A=[rrrr1 & 0 & 1 & -1 2 & 1 & 3 & 3 -1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 2 & 4], B=[rrrr1 & 0 & 4 & 3 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & -4 & 1 0 & 0 & 0 & 3], C=[rrrr3 & 2 & 0 & 1 -4 & 5 & 0 & 7 0 & 1 & 0 & 6 2 & -1 & 0 & 2], D=[rrrr2 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 3] e b=[r-2 2 1 3].
(a) (1 ponto) Calcule o determinante de A por expansão em cofatores.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de det(A) para a matriz
A = 1 & 0 & 1 & -1 2 & 1 & 3 & 3 -1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 2 & 4
usando expansão em cofatores. Lembramos que
det(A) = sumi=1^n ai j,Ci j,
onde Ci j=(-1)^i+jdet(Mi j) é o cofator associado a ai j.

Passo 2

Escolhemos expandir ao longo da segunda coluna de A, pois nela há dois zeros, simplificando o cálculo. Assim
det(A)=sumi=1^4 ai2,Ci2 = a2,2C2,2 + a4,2C4,2,
já que a1,2=0 e a3,2=0.

Passo 3

Calculamos o cofator C2,2. Como a2,2=1, temos
C2,2=(-1)^2+2det(M2,2)=det(M2,2),
onde
M2,2 = 1 & 1 & -1 -1 & 0 & 1 0 & 2 & 4
Expandindo pela primeira linha de M2,2,
det(M2,2) =1cdotdet0&12&4 -1cdotdet-1&10&4 +(-1)cdotdet-1&00&2 =-2+4+2=4
Logo, C2,2=4.

Passo 4

Calculamos o cofator C4,2. Como a4,2=1,
C4,2=(-1)^4+2det(M4,2)=det(M4,2),
onde
M4,2 = 1 & 1 & -1 2 & 3 & 3 -1 & 0 & 1
Expandindo pela primeira linha de M4,2,
det(M4,2) =1cdotdet3&30&1 -1cdotdet2&3-1&1 +(-1)cdotdet2&3-1&0 =3-5-3=-5
Assim, C4,2=-5.

Passo 5

Somando as contribuições,
det(A)=a2,2C2,2+a4,2C4,2 =1cdot4+1cdot(-5)=-1

Resposta

det(A)=-1

Exercícios relacionados