Sejam A=[rrrr1 & 0 & 1 & -1 2 & 1 & 3 & 3 -1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 2 & 4], B=[rrrr1 & 0 & 4 & 3 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & -4 & 1 0 & 0 & 0 & 3], C=[rrrr3 & 2 & 0 & 1 -4 & 5 & 0 & 7 0 & 1 & 0 & 6 2 & -1 & 0 & 2], D=[rrrr2 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 3] e b=[r-2 2 1 3].
(b) (1 ponto) Encontre a inversa de A.

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A= 1 & 0 & 1 & -1 2 & 1 & 3 & 3 -1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 2 & 4
O método que vamos usar é a eliminação de Gauss–Jordan: montamos a matriz aumentada [Amid I] e aplicamos operações de linha até obter [Imid A^-1].

Passo 2

Formamos a matriz aumentada [Amid I]:
[rrrr|rrrr 1 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 3 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 -1& 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Usamos o pivô em (1,1)=1 para zerar abaixo na coluna 1:
R2 R2-2R1 e R3 R3+R1. Ficamos com
R2=(0;1;1;5mid -2;1;0;0),
R3=(0;0;1;0mid 1;0;1;0)

Passo 4

O pivô em (2,2)=1 zera a entrada (4,2) com
R4 R4-R2, dando
R4=(0;0;1;-1mid 2;-1;0;1)

Passo 5

O pivô em (3,3)=1 zera a coluna 3 nas outras linhas:
R1 R1-R3, R2 R2-R3, R4 R4-R3
Isso produz
R1=(1;0;0;-1mid 0;0;-1;0),
R2=(0;1;0;5mid -3;1;-1;0),
R4=(0;0;0;-1mid 1;-1;-1;1)

Passo 6

Usamos o pivô em (4,4)=-1: primeiro R4 -R4 e depois
R1 R1+R4, R2 R2-5R4
As linhas finais ficam
R1=(1;0;0;0mid -1;1;0;-1),
R2=(0;1;0;0mid 2;-4;-6;5),
R3=(0;0;1;0mid 1;0;1;0),
R4=(0;0;0;1mid -1;1;1;-1)

Passo 7

Chegamos a
[Imid A^-1],
logo a inversa é
A^-1= -1 & 1 & 0 & -1 2 & -4 & -6 & 5 1 & 0 & 1 & 0 -1 & 1 & 1 & -1

Resposta

A^-1= -1 & 1 & 0 & -1 2 & -4 & -6 & 5 1 & 0 & 1 & 0 -1 & 1 & 1 & -1

Exercícios relacionados