Considere a matriz
A=(ll 3 & 1 2 & 2 )
Para cada autovalor lambda de A, encontre um vetor v neq 0 tal que A v=lambda v.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 3 & 12 & 2
e pede, para cada autovalor lambda de A, encontrar um vetor próprio vneq0 tal que
A,v = lambda,v
O conteúdo aqui é o cálculo do polinômio característico e a solução do sistema homogêneo (A - lambda I)v = 0.

Passo 2

Formamos o polinômio característico usando
det(A - lambda I) = det3-lambda & 12 & 2-lambda = (3-lambda)(2-lambda) - 2

Passo 3

Expandindo e igualando a zero,
(3-lambda)(2-lambda) - 2 = 6 -5lambda + lambda^2 -2 = lambda^2 -5lambda +4 = 0
As raízes são
lambda = 5 pm raiz25 -162 = 5pm32,
ou seja
lambda1=4 e lambda2=1.

Passo 4

Para resolvemos
A primeira linha dá , ou .
Escolhendo , um vetor próprio é

Passo 5

Para resolvemos
Isso dá , ou .
Tomando , obtemos

Resposta

lambda1 = 4, um vetor próprio é
v1 = 11
lambda2 = 1, um vetor próprio é
v2 = 1-2

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