Se T denota o operador linear de R^2 cuja matriz em relação à base canônica é [cc4 & -1 2 & 1], então T^555(0,1) é igual a
(A) (2^556-3^555, 2^556-3^555)
(B) (2^555-3^556, 2^556-3^555)
(C) (2^555-3^555, 2^555-3^555)
(D) (2^555-3^555, 2^555-3^556)
(E) (2^555-3^555, 2^556-3^555)

Passo 1

O enunciado pede T^555(0,1), onde TcolonR^2toR^2 é dado na base canônica pela matriz
A=4 & -12 & 1
Como queremos uma potência alta de T, a ideia é diagonalizar A (encontrar valores e vetores próprios) e usar T^n = S,D^n,S^-1.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det4-lambda&-12&1-lambda =(4-lambda)(1-lambda)+2 =lambda^2-5lambda+6 =(lambda-2)(lambda-3)
Portanto os autovalores são lambda1=2 e lambda2=3.

Passo 3

Para resolvemos :
escolhemos .
Para resolvemos :
escolhemos .

Passo 4

Formamos S=[,u;w,]=1&12&1.
O determinante é det S=1cdot1-1cdot2=-1, logo
S^-1=1-11&-1-2&1 =-1&12&-1

Passo 5

Escrevemos v=(0,1) na base de autovetores:
c=S^-1v =-1&12&-101 =1-1

Passo 6

Como T^n = S,diag(2^n,3^n),S^-1, temos
T^n(0,1) = S2^n&00&3^nc =2^n,u-3^n,w =2^n(1,2)-3^n(1,1) =(2^n-3^n,;2^n+1-3^n)

Passo 7

Tomando n=555, obtemos
T^555(0,1) =l(2^555-3^555,;2^556-3^555r)

Passo 8

Comparando com as alternativas, corresponde à letra (E).

Resposta

(E) ,(2^555-3^555,,2^556-3^555)

Exercícios relacionados