Seja
o operador linear tal que
, para todo
, onde
denota a transposta de
. Prove que
é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado define
por
isto é,
envia cada matriz à sua transposta. Queremos provar que
é diagonalizável. Para isso, vamos encontrar subespaços próprios que gerem
e em que
age como escalares, mostrando que há uma base de autovetores.
Passo 2
Definimos dois subespaços de
:
(matrizes simétricas)
(matrizes antissimétricas)
Qualquer pode ser escrito de modo único como
Qualquer
onde
e
. Além disso,
. Logo,
Passo 3
Vejamos agora como
age nesses subespaços. Se
, então
e
isto é,
é autovetor de
com autovalor
. Se
, então
e
logo
é autovetor com autovalor
.
Passo 4
Como
se decompõe em soma direta dos eigensespaços
(multiplicidade
) e
(multiplicidade
), existe uma base de
formada por autovetores de
. Portanto,
é diagonalizável.