Seja T: Mn(R) Mn(R) o operador linear tal que T(M)=M^t, para todo M in Mn(R), onde M^t denota a transposta de M. Prove que T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado define T: Mn(R) to Mn(R) por
T(M)=M^t,
isto é, T envia cada matriz à sua transposta. Queremos provar que T é diagonalizável. Para isso, vamos encontrar subespaços próprios que gerem Mn(R) e em que T age como escalares, mostrando que há uma base de autovetores.

Passo 2

Definimos dois subespaços de Mn(R):
V+=Sin Mn(R)mid S^t=S (matrizes simétricas)
V-=Kin Mn(R)mid K^t=-K (matrizes antissimétricas)
Qualquer Min Mn(R) pode ser escrito de modo único como
M = M+M^t2 + M-M^t2,
onde M+M^t2in V+ e M-M^t2in V-. Além disso, V+cap V-=0. Logo,
Mn(R) = V+oplus V-

Passo 3

Vejamos agora como T age nesses subespaços. Se Sin V+, então S^t=S e
T(S)=S^t=S,
isto é, S é autovetor de T com autovalor lambda=1. Se Kin V-, então K^t=-K e
T(K)=K^t=-K,
logo K é autovetor com autovalor lambda=-1.

Passo 4

Como Mn(R) se decompõe em soma direta dos eigensespaços V+ (multiplicidade n(n+1)2) e V- (multiplicidade n(n-1)2), existe uma base de Mn(R) formada por autovetores de T. Portanto, T é diagonalizável.

Resposta

T é diagonalizável, com autovalores 1 (dimensão tfracn(n+1)2) e -1 (dimensão tfracn(n-1)2).

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