Seja T: Pn(R) Pn(R) o operador linear definido por T(f(t))=f(t+1) para todo f(t) in Pn(R). É T diagonalizável? Por quê?

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T:Pn(R)toPn(R), Tl(f(t)r)=f(t+1),
e pergunta se T é diagonalizável. Para responder, vamos estudar os autovalores e autovetores de T, calcular suas multiplicidades algébrica e geométrica, e usar o critério de diagonalizabilidade (geometric multiplicity = algebraic multiplicity para cada autovalor).

Passo 2

Procuramos lambdainR e finPn(R)setminus0 tais que
T(f)=lambda,f Long<=ftrightarrow f(t+1)=lambda,f(t)
Como f é polinômio, observe que, se lambdaneq1, em particular f(t+1) teria grau igual ao de f, mas a relação impõe que seus coeficientes se ajustem de modo impossível salvo fequiv0. Logo o único candidato é
lambda=1

Passo 3

Para lambda=1 temos a condição de autovetor
f(t+1)=f(t)
Entre polinômios, a única forma de serem periódicos com período 1 é sendo constantes. Portanto
kerl(T-Ir) =finPn(R):f constante
é de dimensão 1. Assim a multiplicidade geométrica de lambda=1 é
dimker(T-I)=1

Passo 4

Por outro lado, a matriz de T na base 1,t,t^2,dots,t^n é triangular superior com todos os elementos da diagonal iguais a 1, de modo que o polinômio característico é
chiT(lambda)=(1-lambda)^n+1
Isso mostra que a multiplicidade algébrica de lambda=1 é n+1>1. Como a multiplicidade geométrica (igual a 1) é menor que a algébrica ( n+1), concluímos que T não é diagonalizável para n>=1.

Resposta

Não, T não é diagonalizável em Pn(R) (para n>=1), pois possui o único autovalor lambda=1 de multiplicidade algébrica n+1 e multiplicidade geométrica 1.

Exercícios relacionados