Seja
o operador linear definido por
para todo
. É
diagonalizável? Por quê?
Passo 1
O enunciado define o operador linear
e pergunta se
é diagonalizável. Para responder, vamos estudar os autovalores e autovetores de
, calcular suas multiplicidades algébrica e geométrica, e usar o critério de diagonalizabilidade (geometric multiplicity
algebraic multiplicity para cada autovalor).
Passo 2
Procuramos
e
tais que
Como
é polinômio, observe que, se
, em particular
teria grau igual ao de
, mas a relação impõe que seus coeficientes se ajustem de modo impossível salvo
. Logo o único candidato é
Passo 3
Para
temos a condição de autovetor
Entre polinômios, a única forma de serem periódicos com período
é sendo constantes. Portanto
é de dimensão
. Assim a multiplicidade geométrica de
é
Passo 4
Por outro lado, a matriz de
na base
é triangular superior com todos os elementos da diagonal iguais a
, de modo que o polinômio característico é
Isso mostra que a multiplicidade algébrica de
é
. Como a multiplicidade geométrica (igual a
) é menor que a algébrica (
), concluímos que
não é diagonalizável para
.
Resposta
Não,
não é diagonalizável em
(para
), pois possui o único autovalor
de multiplicidade algébrica
e multiplicidade geométrica
.