Considere a matriz
A=(lll 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 )
Calcule A^100.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de permutação
A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0
e pede A^100. O conteúdo é potenciação de matriz com período (ciclo) finito, pois esta matriz satisfaz A^3 = I3. Vamos usar essa periodicidade para reduzir o expoente.

Passo 2

Primeiro calculamos
A^2 = A cdot A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 ,
e em seguida
A^3 = A^2 cdot A = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = I3

Passo 3

Como A^3 = I3, segue que
A^k = A^k bmod 3para todo inteiro k>=0

Passo 4

Agora calculamos o resto da divisão de 100 por 3:
100 bmod 3 = 1
Portanto
A^100 = A^1 = A

Resposta

A^100 = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0

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