Considere a matriz A=(lll 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 ) Calcule A^100. Passo 1O enunciado dá a matriz de permutação A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 e pede A^100. O conteúdo é potenciação de matriz com período (ciclo) finito, pois esta matriz satisfaz A^3 = I3. Vamos usar essa periodicidade para reduzir o expoente. Passo 2Primeiro calculamos A^2 = A cdot A = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 , e em seguida A^3 = A^2 cdot A = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = I3 Passo 3Como A^3 = I3, segue que A^k = A^k bmod 3para todo inteiro k>=0 Passo 4Agora calculamos o resto da divisão de 100 por 3: 100 bmod 3 = 1 Portanto A^100 = A^1 = A Resposta A^100 = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosConsidere as seguintes matrizes A=(ll 1 & 0 1 & 1 ), B=(ll 1 & 2 0 & 1 ) (1) Os autovalores de A B são iguais aos autovalores de A multiplicados pelos autovalores de B? Considere a seguinte matriz A=(cc 2 & -1 -1 & 2 ) Responda as seguintes questões: (5) Calcule os autovalores e autovetores de A+4 I, onde I é a matriz identidade 2 times 2. Seja A uma matriz n times n tal que A^T=A^-1, onde A^T é a transposta de A. Mostre que todos os autovalores de A têm módulo 1. Seja A uma matriz 3 times 3 real tal que A^3=I, onde I é a matriz identidade. (1) Quais são os possiveis autovalores de A?