Seja A uma matriz 3 times 3 real tal que A^3=I, onde I é a matriz identidade.
(1) Quais são os possiveis autovalores de A?

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz real 3times3 e satisfaz
A^3=I
O conteúdo que vamos usar é a relação entre autovalores de A e operações polinomiais: se v é autovetor associado a lambda, então A^3v=lambda^3v.

Passo 2

Seja vneq 0 um autovetor de A com autovalor lambda. Então
A v = lambda v Longrightarrow A^3 v = lambda^3 v
Mas como A^3=I, segue
A^3 v = Iv = v,
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lambda^3 v = v Longrightarrow (lambda^3 - 1),v = 0
Como vneq0, temos lambda^3-1=0.

Passo 3

Resolvendo
lambda^3 = 1
obtemos as três raízes da unidade:
lambda1 = 1, lambda2 = e^2pi i/3 = -tfrac12 + i,tfracraiz32, lambda3 = e^4pi i/3 = -tfrac12 - i,tfracraiz32

Passo 4

Como A é real, qualquer autovalor não real aparece em par conjugado. Portanto, além de lambda=1, os únicos outros possíveis são
,-tfrac12 pm i,tfracraiz32,.

Resposta

Os possíveis autovalores de A são
,1,;e^2pi i/3,;e^4pi i/3
ou, em forma cartesiana,
l1,,-tfrac12 + i,tfracraiz32,,-tfrac12 - i,tfracraiz32r

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