Seja A uma matriz
real tal que
, onde
é a matriz identidade.
(1) Quais são os possiveis autovalores de
?
(1) Quais são os possiveis autovalores de
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz real
e satisfaz
O conteúdo que vamos usar é a relação entre autovalores de
e operações polinomiais: se
é autovetor associado a
, então
.
Passo 2
Seja
um autovetor de
com autovalor
. Então
Mas como
, segue
logo
Como
, temos
.
Passo 3
Resolvendo
obtemos as três raízes da unidade:
Passo 4
Como
é real, qualquer autovalor não real aparece em par conjugado. Portanto, além de
, os únicos outros possíveis são
.
Resposta
Os possíveis autovalores de
são
ou, em forma cartesiana,