Considere a seguinte matriz
A=(cc 2 & -1 -1 & 2 )
Responda as seguintes questões:
(5) Calcule os autovalores e autovetores de A+4 I, onde I é a matriz identidade 2 times 2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar autovalores e autovetores de A+4I, onde
A = 2 & -1 -1 & 2
e I é a identidade 2times2. O conteúdo aqui é cálculo de autovalores via polinômio característico e, em seguida, solução do sistema (A+4I - lambda I)x=0 para cada lambda.

Passo 2

Primeiro escrevemos explicitamente
A + 4I ;=; 2&-1-1&2 + 4&00&4 = 6 & -1 -1 & 6

Passo 3

Para achar os autovalores lambda, montamos o determinante
detl((A+4I) - lambda Ir) = det6-lambda & -1 -1 & 6-lambda = (6-lambda)^2 - 1

Passo 4

Resolvendo (6-lambda)^2 - 1 = 0, temos
(6-lambda)^2 = 1 Longrightarrow 6-lambda = pm 1 Longrightarrow lambda = 6 pm 1
Logo os autovalores são lambda1 = 7 e lambda2 = 5.

Passo 5

Para , resolvemos
Da linha vem . Um autovetor associado é
.

Passo 6

Para , resolvemos
Da linha vem . Um autovetor associado é
.

Resposta

Os autovalores de A+4I são lambda1=7 e lambda2=5.
Os autovetores correspondentes podem ser escolhidos como
v1 = 1-1 para lambda1=7, v2 = 11 para lambda2=5

Exercícios relacionados