Considere as seguintes matrizes
A=(ll 1 & 0 1 & 1 ), B=(ll 1 & 2 0 & 1 )
(1) Os autovalores de A B são iguais aos autovalores de A multiplicados pelos autovalores de B?

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
e pergunta se os autovalores de coincidem com os produtos dos autovalores de pelos de . O conteúdo aqui é a propriedade de autovalores de produto de matrizes e a necessidade de comutatividade para que a relação valha.

Passo 2

Como A é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal:
lambda1=1, lambda2=1

Passo 3

De modo análogo, B também é triangular, logo seus autovalores são
mu1=1, mu2=1

Passo 4

Os possíveis produtos lambdaimuj formam o conjunto
1cdot1,;1cdot1=1,1

Passo 5

Vamos calcular AB:
AB =1 & 01 & 1 1 & 20 & 1 =1 & 21 & 3
Para esta matriz, o traço é 1+3=4 e o determinante é 1cdot3-2cdot1=1. A equação característica é
lambda^2-4lambda+1=0
cuja solução é
lambda = 4pmraiz16-42=2pmraiz3

Passo 6

Comparando os conjuntos de autovalores:
logo, neste caso os autovalores de não são os produtos dos autovalores de pelos de . Em geral essa igualdade só ocorre se e comutam (ou são simultaneamente diagonalizáveis), condição que não vale aqui.

Resposta

Não. Os autovalores de AB são 2pmraiz3, enquanto os produtos dos autovalores de A e B são apenas 1 e 1. Essa propriedade só vale quando A e B comutam.

Exercícios relacionados