Seja A uma matriz n times n tal que A^T=A^-1, onde A^T é a transposta de A. Mostre que todos os autovalores de A têm módulo 1.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz real ntimes n tal que
A^T = A^-1,
ou seja, A é uma matriz ortogonal. Queremos mostrar que todo autovalor lambda de A satisfaz lvert lambdarvert =1. Para isso, vamos usar que matrizes ortogonais preservam o produto interno e, portanto, a norma euclidiana.

Passo 2

Como A^TA=I, para qualquer vetor xinR^n vale
|Ax|^2 = (Ax)^T(Ax) = x^T(A^TA),x = x^Tx = |x|^2
Isto mostra que A é um isômetro, ou seja,
|Ax| = |x| para todo x

Passo 3

Seja lambda um autovalor de A e vneq 0 um autovetor correspondente, isto é,
A,v = lambda,v
Aplicando a norma em ambos os lados, temos
|A,v| = |lambda,v| = |lambda|,|v|
Mas pelo passo anterior |A,v|=|v|. Logo
|lambda|,|v| = |v|
Como |v|neq 0, segue que
|lambda| = 1

Resposta

Todos os autovalores de A têm módulo igual a 1.

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