Seja
uma matriz
tal que
, onde
é a transposta de
. Mostre que todos os autovalores de A têm módulo 1.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz real
tal que
ou seja,
é uma matriz ortogonal. Queremos mostrar que todo autovalor
de
satisfaz
. Para isso, vamos usar que matrizes ortogonais preservam o produto interno e, portanto, a norma euclidiana.
Passo 2
Como
, para qualquer vetor
vale
Isto mostra que
é um isômetro, ou seja,
Passo 3
Seja
um autovalor de
e
um autovetor correspondente, isto é,
Aplicando a norma em ambos os lados, temos
Mas pelo passo anterior
. Logo
Como
, segue que
Resposta
Todos os autovalores de
têm módulo igual a
.