Considere a matriz (ccc1 & x & x^2 1 & 2 & 4 1 & -3 & 9), calcule: seu determinante; os valores de x que anula tal determinate.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & x & x^2 1 & 2 & 4 1 & -3 & 9
e pede (a) o determinante de A e (b) os valores de x que anulam esse determinante. Para isso, vamos usar operações elementares em linhas para simplificar o cálculo.

Passo 2

Aplicamos as operações de linha
R2 R2 - R1, R3 R3 - R1,
o que preserva o determinante. Assim
det(A) = 1 & x & x^2 0 & 2 - x & 4 - x^2 0 & -3 - x & 9 - x^2 = 1 ;cdot; 2 - x & 4 - x^2 -3 - x & 9 - x^2

Passo 3

Vamos calcular o determinante do menor de ordem 2:
2 - x & 4 - x^2 -3 - x & 9 - x^2 = (2 - x)(9 - x^2); - ; (4 - x^2)(-3 - x)

Passo 4

Expandindo e fatorando:
(2 - x)(9 - x^2) - (4 - x^2)(-3 - x) = 18 - 2x^2 -9x + x^3 ;+; (4 - x^2)(3 + x)
= x^3 - 2x^2 -9x + 18 ;+; 12 + 4x -3x^2 - x^3 = -5x^2 -5x +30 = 5(-x^2 - x +6) = 5(x+3)(x-2)
Portanto
det(A)=5(x+3)(x-2)

Passo 5

Para anular o determinante, basta resolver
5(x+3)(x-2)=0
que dá
x=-3 ou x=2

Resposta

det(A)=5(x+3)(x-2).
Os valores de x que zeram esse determinante são -3 e 2.

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